Angle de Hannay

En mécanique classique, l’angle de Hannay constitue l’équivalent mécanique de la phase géométrique en mécanique quantique, plus connue sous le nom de phase de Berry. Ce concept doit son nom à John Hannay, chercheur à l’Université de Bristol (Royaume-Uni), qui l’a introduit en 1985. Sa contribution majeure a été d’étendre les principes de la phase de Berry, formalisée en physique quantique, au domaine de la mécanique classique, ouvrant ainsi de nouvelles perspectives dans l’étude des systèmes dynamiques^[1].

Pour illustrer ce principe, considérons un système unidimensionnel dont la dynamique est contrainte d’évoluer selon un cycle fermé, à l’instar d’un simple pendule oscillant à la pulsation ω. Supposons à présent qu’un paramètre externe, noté ${\displaystyle \lambda }$ — caractérisé par une variation lente par rapport à la période propre du système — subisse une modulation adiabatique. Cette situation peut être illustrée par analogie avec la corde du pendule que l’on étirerait ou que l’on relâcherait progressivement.

Dans ce contexte, il est alors possible de décomposer son mouvement global en deux échelles temporelles distinctes : une oscillation rapide, associée à la dynamique intrinsèque du pendule, et une oscillation lente, reflétant l’influence du paramètre externe modulé. L’action de tirer sur la corde correspond à cette modulation lente, tandis que le balancement du pendule reflète l’oscillation rapide.

Lorsque l’on représente ce système dans l’espace des phases, sa trajectoire décrit la surface d'un tore, où chaque cycle rapide s’inscrit dans une section transversale du tore, tandis que la variation lente du paramètre engendre un déplacement le long de la circonférence principale de cette surface. C’est cette géométrie qui sous-tend l’émergence de l’angle de Hannay, en quantifiant le déphasage accumulé au cours d’un cycle complet de la modulation adiabatique.

Le théorème adiabatique de la mécanique classique énonce que la variable d’action, définie comme l’aire de l’espace des phases délimitée par la trajectoire périodique du système, demeure approximativement invariante sous l’effet d’une perturbation lente des paramètres externes. Ainsi, à l’issue d’une période de modulation adiabatique, l’oscillation rapide du système retrouve sa trajectoire initiale dans l’espace des phases.

Cependant, bien que la forme de l’orbite soit préservée, la phase associée à cette oscillation subit une variation cumulative au cours du temps. Cette modification de phase se décompose en deux contributions principales, correspondant à des ordres distincts dans le développement asymptotique du problème adiabatique. Si T désigne la période de l’oscillation, le premier ordre est l'angle dynamique, qui est vaut simplement ${\displaystyle \int _{0}^{T}\omega (\lambda )dt}$. Cet angle dépend des détails précis du mouvement, et il est d'ordre ${\displaystyle O(T)}$. Le second ordre est l'angle de Hannay, qui, étonnamment, est indépendant des détails précis de ${\displaystyle {\dot {\lambda }}}$. Il dépend de la trajectoire de ${\displaystyle \lambda }$ mais pas de la vitesse à laquelle il parcourt la trajectoire. Il est d'ordre ${\displaystyle O(1)}$^[2].

L'angle de Hannay est défini dans une représentation des coordonnées action-angle. Dans un système initialement invariant dans le temps, la variable d'action ${\displaystyle I_{\alpha }}$ est une constante. Après l'introduction d'une perturbation périodique ${\displaystyle \lambda (t)}$, la variable d'action ${\displaystyle I_{\alpha }}$ devient un invariant adiabatique, et l'angle de Hannay ${\displaystyle \theta _{\alpha }^{H}}$ est la variable angulaire correspondante. Elle peut être calculée selon l'intégrale de chemin qui représente une évolution dans laquelle la perturbation ${\displaystyle \lambda (t)}$ revient à sa valeur d'origine ^[3] $${\displaystyle \theta _{\alpha }^{H}=-{\frac {\partial }{\partial I_{\alpha }}}\oint \!{\boldsymbol {p}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {q}}}{\partial \lambda }}\mathrm {d} \lambda {\overset {Stokes}{=}}-{\frac {\partial }{\partial {I_{\alpha }}}}\iint \omega }$$où ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ et ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ sont des variables canoniques de l'hamiltonien, et ${\displaystyle \omega }$ est la 2-forme symplectique hamiltonienne ${\displaystyle \omega =d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} }$, exprimée par le théorème de Stokes.

• Jerrold E. Marsden, Richard Montgomery et Tudor S. Ratiu, Reduction, Symmetry, and Phases in Mechanics, AMS Bookstore, 1990 (ISBN 0-8218-2498-8, lire en ligne), p. 69
• C. Pisani, Quantum-mechanical Ab-initio Calculation of the Properties of Crystalline Materials, Proceedings of the IV School of Computational Chemistry of the Italian Chemical Society, 1994 (ISBN 3-540-61645-4, lire en ligne), p. 282
• Karin M Rabe, Jean-Marc Triscone et Charles H Ahn, Physics of Ferroelectrics: a Modern Perspective, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-34590-9, lire en ligne), p. 2

• Professeur John H. Hannay : Principaux faits saillants de la recherche . Département de physique, Université de Bristol.

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