Coordonnées action-angle

En mécanique classique, les variables action-angle sont des coordonnées canoniques particulièrement utiles pour analyser les systèmes intégrables. Elles permettent de caractériser les flux commutatifs lorsque les niveaux d’énergie conservés forment un ensemble compact et que ces flux sont complets^[1],[2].

Ces variables simplifient l’étude des mouvements oscillatoires ou rotationnels en fournissant directement leurs fréquences, sans nécessiter la résolution explicite des équations du mouvement. Elles n’existent que pour les systèmes complètement intégrables : ceux-ci doivent comporter un nombre maximal d’invariants de Poisson commutatifs indépendants, et leur surface d’énergie conservée doit être compacte.

Leur intérêt pratique est notable en calcul, surtout quand l’équation de Hamilton-Jacobi est complètement séparable et que les constantes de séparation s’expriment en fonction de l’espace des phases. Enfin, ces variables définissent un feuilletage par tores lagrangiens invariants : les flux générés par les invariants de Poisson restent confinés dans leurs ensembles de niveaux conjoints, et la compacité de ces ensembles garantit leur structure torique. Les variables d’angle, quant à elles, offrent des coordonnées sur ces feuilles où les flux commutatifs deviennent linéaires.

Le lien entre les systèmes hamiltoniens classiques et leur quantification en mécanique ondulatoire repose sur l’équation de Hamilton-Jacobi, qui apparaît comme le terme dominant du développement asymptotique WKB de l’équation de Schrödinger. Pour les systèmes intégrables, les conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld — utilisées avant même la mécanique quantique — ont permis de calculer le spectre de l’atome d’hydrogène. Ces conditions exigent l’existence des variables action-angle et imposent que leurs valeurs soient des multiples entiers de la constante de Planck réduite (ℏ). C’est sur cette contrainte qu'Albert Einstein a fondé son intuition : la quantification EBK devient problématique pour les systèmes non intégrables, car ceux-ci ne disposent pas de variables action-angle bien définies^[3].

Les coordonnées action-angle sont également utiles en théorie des perturbations de la mécanique hamiltonienne, notamment pour la détermination des invariants adiabatiques. L'un des premiers résultats de la théorie du chaos, concernant la stabilité dynamique des systèmes dynamiques intégrables soumis à de petites perturbations, est le théorème KAM, qui stipule que les tores invariants sont partiellement stables^[4].

Dans la théorie moderne des systèmes intégrables, les variables action-angle ont été utilisées dans la résolution du réseau de Toda, la définition des paires de Lax^[5], ou plus généralement, l'évolution isospectrale d'un opérateur linéaire caractérisant la dynamique intégrable, et l'interprétation des données spectrales associées comme des variables action-angle dans la formulation hamiltonienne.

Les angles d'action résultent d'une transformation canonique de type 2 où la fonction génératrice est la fonction caractéristique de Hamilton ${\displaystyle W(\mathbf {q} )}$ (à ne pas confondre avec la fonction principale de Hamilton ${\displaystyle S}$ )^[6]. Puisque l'hamiltonien initial ne dépend pas explicitement du temps, le nouvel hamiltonien ${\displaystyle K(\mathbf {w} ,\mathbf {J} )}$ est simplement l'hamiltonien ordinaire ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ exprimé en termes des nouvelles coordonnées canoniques, que nous désignons par ${\displaystyle \mathbf {w} }$ (les angles d'action, qui sont des coordonnées généralisées ) et leurs nouveaux moments généralisés ${\displaystyle \mathbf {J} }$ Nous n'aurons pas besoin de calculer ici la fonction génératrice ${\displaystyle W}$ elle-même ; nous l’utiliserons simplement comme un moyen de relier les nouvelles et les anciennes coordonnées canoniques.

Plutôt que de définir les angles d'action ${\displaystyle \mathbf {w} }$, nous définissons plutôt directement leurs moments généralisés, qui ressemblent à l'action classique pour chaque coordonnée généralisée d'origine.

${\displaystyle J_{k}\equiv \oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}}$

où le chemin fermé d'intégration est implicitement donné par la fonction d'énergie constante ${\displaystyle E=E(q_{k},p_{k})}$. Puisque le mouvement réel n'intervient pas dans cette intégration, ces moments généralisés ${\displaystyle J_{k}}$ sont toutes des constantes du mouvement, ce qui implique que l'hamiltonien transformé ${\displaystyle K}$ ne dépend pas des coordonnées généralisées conjuguées ${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}J_{k}=0={\frac {\partial K}{\partial w_{k}}}}$

où les termes ${\displaystyle w_{k}}$ sont données par l'équation typique d'une transformation canonique de type 2

${\displaystyle w_{k}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{k}}}}$

Par conséquent, le nouvel hamiltonien ${\displaystyle K=K(\mathbf {J} )}$ dépend uniquement des nouveaux moments généralisés ${\displaystyle \mathbf {J} }$.

La dynamique des angles d'action est donnée par les équations de Hamilton.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}w_{k}={\frac {\partial K}{\partial J_{k}}}\equiv \nu _{k}(\mathbf {J} )}$

Le membre de droite est une constante du mouvement (puisque tous les ${\displaystyle J}$ le sont). Par conséquent, la solution est donnée par

${\displaystyle w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )t+\beta _{k}}$

où ${\displaystyle \beta _{k}}$ est une constante d'intégration. En particulier, si la coordonnée généralisée d'origine subit une oscillation ou une rotation de période ${\displaystyle T}$, l'angle d'action correspondant ${\displaystyle w_{k}}$ change d'un incrément ${\displaystyle \Delta w_{k}=\nu _{k}(\mathbf {J} )T}$.

Ces termes ${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )}$ sont les fréquences d'oscillation/rotation pour les coordonnées généralisées d'origine ${\displaystyle q_{k}}$. Pour le démontrer, nous intégrons la variation nette de l'angle d'action ${\displaystyle w_{k}}$ sur exactement une variation complète (c'est-à-dire une oscillation ou une rotation) de ses coordonnées généralisées ${\displaystyle q_{k}}$

${\displaystyle \Delta w_{k}\equiv \oint {\frac {\partial w_{k}}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}=\oint {\frac {\partial ^{2}W}{\partial J_{k}\,\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint {\frac {\partial W}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} J_{k}}{\mathrm {d} J_{k}}}=1}$

Par identification de ${\displaystyle \Delta w_{k}}$, nous obtenons l'équation souhaitée

${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}}$

Les angles d'action ${\displaystyle \mathbf {w} }$ définissent un ensemble indépendant de coordonnées généralisées. Ainsi, dans le cas général, chaque coordonnée généralisée d'origine ${\displaystyle q_{k}}$ peut être exprimée sous forme de série de Fourier pour tous les angles d'action

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\cdots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}}$

où ${\displaystyle A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}}$ est le coefficient de la série de Fourier. Dans la plupart des cas pratiques, cependant, une coordonnée généralisée originale ${\displaystyle q_{k}}$ sera exprimable sous forme de série de Fourier uniquement en ses propres angles d'action ${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }A_{s_{k}}^{k}e^{i2\pi s_{k}w_{k}}}$

La procédure générale comporte trois étapes :

• calculer les nouveaux moments généralisés ${\displaystyle J_{k}}$ ;
• exprimer l'hamiltonien original entièrement en fonction de ces variables ;
• calcule les dérivées de l'hamiltonien par rapport à ces moments pour obtenir les fréquences ${\displaystyle \nu _{k}}$.

Dans certains cas, les fréquences de deux coordonnées généralisées différentes sont identiques, c'est-à-dire, ${\displaystyle \nu _{k}=\nu _{l}}$ pour ${\displaystyle k\neq l}$. Dans de tels cas, le mouvement est dit dégénéré. Les signaux de mouvement dégénérés indiquent l'existence de quantités conservées générales supplémentaires ; par exemple, les fréquences du problème de Kepler sont dégénérées, ce qui correspond à la conservation du vecteur de Laplace-Runge-Lenz. Le mouvement dégénéré indique également que les équations de Hamilton-Jacobi sont complètement séparables dans plus d'un système de coordonnées; par exemple, le problème de Kepler est complètement séparable à la fois en coordonnées sphériques et en coordonnées paraboliques.

• Modèle de Bohr-Sommerfeld (en)
• Système intégrable
• Méthode d'Einstein-Brillouin-Keller
• Système hamiltonien superintégrable (en)
• Forme de Liouville

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