Équation du mouvement

On considère une particule ponctuelle de masse m.

On prend pour hypothèses :

• référentiel galiléen
• les forces de frottement sont négligées

La force ${\displaystyle {\vec {f}}_{(M)}}$ qui s'applique à cette particule au point ${\displaystyle M}$ est décrite par la relation : ${\displaystyle {\vec {f}}_{(M)}={\vec {P}}}$.

P = mg (g accélération de la pesanteur) correspond au poids. On trouve l'équation du mouvement à l'aide du principe fondamental de la dynamique (PFD).

${\displaystyle {\vec {f}}_{(M)}=m.{\vec {a}}=m.{\vec {g}}}$

avec ${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}}$, le vecteur accélération. Dans un système de coordonnées cartésiennes, le vecteur ${\displaystyle {\vec {g}}}$ est orienté suivant ${\displaystyle -{\vec {u_{z}}}}$.

On a donc trois coordonnées :

• ${\displaystyle m.{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=0}$
• ${\displaystyle m.{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=0}$
• ${\displaystyle m.{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-mg}$

On peut ainsi étudier le mouvement sur un plan vertical dans le repère orthonormé ${\displaystyle (Oxz)}$ contenant le vecteur vitesse initial ${\displaystyle {\overrightarrow {v_{0}}}={\binom {v_{0}\cos \alpha }{v_{0}\sin \alpha }}}$ et dont l'origine ${\displaystyle O}$ est la position initiale de l'objet.

Le vecteur vitesse à tout instant appartient lui aussi au plan et ses coordonnées peuvent s'exprimer en fonction du temps. Sur l'axe vertical il faut retrancher la primitive de l'accélération ${\displaystyle gt}$ : ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}={\binom {v_{0}\cos \alpha }{v_{0}\sin \alpha -gt}}}$.

De même le vecteur position par intégration a pour coordonnées : ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}={\binom {v_{0}\cos \alpha \times t}{v_{0}\sin \alpha \times t-{\frac {1}{2}}gt^{2}}}}$.

En substituant ${\displaystyle t}$ par ${\displaystyle {\frac {x}{v_{0}\cos \alpha }}}$ on obtient une équation du second degré : ${\displaystyle z=\tan \alpha \times x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }}\times x^{2}}$.

La trajectoire de l'objet est une parabole renversée dirigée vers le bas. On peut calculer la hauteur maximale de l'objet et la distance à laquelle il retombe sur le sol^[1]. Ces formules négligent bien sûr la variation infime du champ de pesanteur à cette échelle.

Un objet céleste soumis à la seule force gravitationnelle exercée par un corps central beaucoup plus massif possède un mouvement elliptique selon la première loi de Kepler si la trajectoire est fermée. Contrairement à un objet lancé à la surface de la Terre la variation de la force gravitationnelle n'est pas négligeable à cette échelle. Sa norme est inversement proportionnelle au carré de la distance entre le corps central et l'objet en rotation et sa direction change tout le temps pointant toujours vers le corps central. D'après la deuxième loi de Kepler l'aire balayée par le rayon est proportionnelle au temps. Autrement dit la vitesse angulaire est inversement proportionnelle au carré du rayon, ce qui signifie que la vitesse varie tout le temps au cours d'une révolution elliptique : elle est maximale au périgée et minimale à l'apogée. Dans un problème à deux corps la masse du corps orbitant n'est pas négligeable et le mouvement des deux astres est étudié car ils décrivent tous les deux une ellipse avec le même foyer situé au centre de masse du système et la même excentricité mais toujours à l'opposée l'un de l'autre.

L'équation du mouvement d'un corps de masse négligeable par rapport au corps central en coordonnées polaires est : ${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}}$, avec ${\displaystyle r}$ le rayon et ${\displaystyle \theta }$ l'angle entre le rayon vecteur au périgée ${\displaystyle {\overrightarrow {r_{0}}}}$ et le vecteur position ${\displaystyle {\overrightarrow {r}}}$. ${\displaystyle p}$ est le paramètre de l'ellipse égal à ${\displaystyle {\frac {C^{2}}{GM}}}$, ${\displaystyle C}$ étant le moment cinétique spécifique ${\displaystyle {\frac {L}{m}}}$ ou la constante des aires ${\displaystyle r^{2}w}$.

Cette équation est valable aussi pour des trajectoires non fermées hyperboliques ou paraboliques si l'excentricité est supérieure ou égale à 1. Un mouvement circulaire correspond à une excentricité nulle où le rayon est constant, de même la vitesse angulaire et la norme de la vitesse et de l'accélération.

Ce cas peut se trouver dans un condensateur plan. Le mouvement de la particule est similaire à celui d'un objet soumis à une force de pesanteur uniforme. Elle décrit une trajectoire parabolique si la vitesse initiale n'est pas parallèle au champ électrique^[2]. L'équation fondamentale de la dynamique s'écrit :

${\displaystyle m{\overrightarrow {a}}=q{\overrightarrow {E}}\Rightarrow {\overrightarrow {a}}={\frac {q}{m}}{\overrightarrow {E}}}$.

En choisissant un repère à deux dimensions on a les coordonnées de l'accélération ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}=(0,{\frac {qE}{m}})}$, de la vitesse ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}=(v_{0}\cos \alpha ,v_{0}\sin \alpha +{\frac {qE}{m}}t)}$ et de la position ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}=(v_{0}\cos \alpha \times t,v_{0}\sin \alpha \times t+{\frac {qE}{2m}}t^{2})}$. L'équation du mouvement devient alors :

${\displaystyle y={\frac {qE}{2mv^{2}\cos ^{2}\alpha }}\times x^{2}+\tan \alpha \times x}$.

La norme de la vitesse ne change pas car la force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse. Seule l'orientation du vecteur change^[3]. Le mouvement est donc un cercle ou hélicoïdal selon si la vitesse initiale est perpendiculaire ou non au champ magnétique^[4]. Dans le cas d'un cercle le rayon vaut ${\displaystyle {\frac {mv}{\left\vert q\right\vert B}}}$. En effet par dérivation du vecteur position puis du vecteur vitesse on obtient le vecteur accélération dont la norme est égale à ${\displaystyle rw^{2}={\frac {v^{2}}{r}}}$. Puis le principe fondamental de la dynamique donne la relation exprimée en valeur absolue : ${\displaystyle m{\frac {v^{2}}{r}}=\left\vert q\right\vert vB\Rightarrow r={\frac {mv}{\left\vert q\right\vert B}}}$. La vitesse angulaire est appelée la pulsation gyromagnétique^[5] : ${\displaystyle w={\frac {\left\vert q\right\vert B}{m}}}$. Les équations horaires du mouvement circulaire peuvent s'écrire en choisissant l'origine du repère ${\displaystyle (O,x,y)}$ au centre du cercle et la position initiale de la particule sur l'axe ${\displaystyle (Ox)}$ :

${\displaystyle x={\frac {mv}{\left\vert q\right\vert B}}\cos {\Bigl (}{\frac {qB}{m}}t{\Bigr )}}$ et ${\displaystyle y={\frac {mv}{\left\vert q\right\vert B}}\sin {\Bigl (}{\frac {qB}{m}}t{\Bigr )}}$.

Dans le cas où la vitesse initiale n'est pas perpendiculaire au champ magnétique le mouvement est hélicoïdal et on remplace ${\displaystyle v}$ par sa projection sur le plan orthogonal au champ magnétique ${\displaystyle v\sin \alpha }$ pour calculer le rayon du cylindre^[6], ${\displaystyle \alpha }$ étant l'angle entre le vecteur vitesse et le vecteur champ magnétique. On rajoute un troisième axe ${\displaystyle (Oz)}$ perpendiculaire au plan ${\displaystyle (Oxy)}$ et les équations horaires pourraient s'écrire de manière plus générale :

${\displaystyle x={\frac {mv\sin \alpha }{\left\vert q\right\vert B}}\cos {\Bigl (}{\frac {qB}{m}}t{\Bigr )}}$, ${\displaystyle y={\frac {mv\sin \alpha }{\left\vert q\right\vert B}}\sin {\Bigl (}{\frac {qB}{m}}t{\Bigr )}}$ et ${\displaystyle z=v\cos \alpha \times t}$.

Le pas de l'hélice circulaire a pour longueur ${\displaystyle v\cos \alpha \times T=v\cos \alpha \times {\frac {2\pi }{w}}=v\cos \alpha \times {\frac {2\pi m}{\left\vert q\right\vert B}}}$.

Dans le cas d'un croisement entre un champ magnétique et un champ électrique uniformes et perpendiculaires, le mouvement de la particule chargée est une cycloïde.