Masse électromagnétique

La masse électromagnétique d'un système désigne la contribution des interactions électromagnétiques à son inertie. Il s'agit d'un concept classique qui fut introduit pour la première fois en 1881 par Joseph J. Thomson^[1]^,^[2]. La masse électromagnétique constitue, au même titre que l'inductance ou la force d'Abraham-Lorentz, un phénomène d'auto-interaction, dans la mesure où un corps chargé interagit avec son propre champ électromagnétique. Elle s'exprime en kilogrammes (kg) dans le Système international d'unités (SI).

Cause physique

À l'origine, on pensait que la masse d'un corps (c'est-à-dire sa résistance à l'accélération) était uniquement liée à la quantité de matière qu'il renfermait. Or, les lois de l'électromagnétisme classique montrent que deux corps contenant la même quantité de matière peuvent pourtant présenter des masses différentes.

Démonstration

Pour illustrer cela, nous pouvons considérer un système constitué de deux charges électriques ponctuelles q1 et q2 séparées par une distance r.

Lorsque ce système est au repos, les forces électriques mutuelles entre les deux charges sont égales et opposées (loi de Coulomb), ce qui implique que la résultante de ces forces est nulle.

Si, à présent, on impose à l'ensemble du système une accélération ${\vec {a}}$ dirigée vers la droite (en maintenant la distance r entre les deux charges constante), il n'en est plus de même^[3] : en effet, le champ électrique produit par chaque charge ne se propageant pas instantanément, mais à la vitesse de la lumière (c = 299 792 458 m/s), la force subie par chaque charge ne dépend plus de la position actuelle de l'autre charge, mais de sa position retardée (t' = t - r/c). Ce faisant, la force exercée par q2 sur q1 devient légèrement plus forte que la force exercée par q1 sur q2. Ce déséquilibre conduit à l'apparition d'une force totale Fauto s'exerçant sur l'ensemble du système. Cette force est ici dirigée vers la gauche et tend donc à s'opposer à l'accélération^[4].

Pour calculer Fauto, il nous faut calculer la force électrique exercée par chaque charge sur l'autre, en prenant en compte les effets de retard dans la propagation du champ électrique. Nous pouvons pour ce faire utiliser la relation F = q E et calculer le champ électrique E créé par chaque charge en utilisant le modèle de Darwin, qui permet d'approximer l'expression des champs jusqu'à l'ordre 1/c² en régime quasi-stationnaire^[5]. L'expression générale du champ E est :

$\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {\mathbf {n} }{r^{2}}}-{\frac {\mathbf {a} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} )\,\mathbf {n} }{2c^{2}r}}\right)$

dans laquelle toutes les grandeurs exprimées sont instantanées (c'est-à-dire considérées à l'instant présent t). Le premier terme de cette équation représente le champ coulombien, et le second est un terme correctif, causé par l'accélération des charges, qui prend précisément en compte les effets de retard.

Comme mentionné précédemment, le premier terme (bien que beaucoup plus important en amplitude que le second) conduit à des forces égales et opposées. En revanche, le terme lié à l'accélération peut produire des forces qui ne sont pas égales et opposées. En calculant la force totale Fauto s'exerçant sur le système, on trouve^[3] :

{\vec {F}}_{\mathrm {auto} }={\vec {F}}_{1\to 2}+{\vec {F}}_{2\to 1}=-{\frac {2q_{1}q_{2}\,{\vec {a}}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}

La force totale obtenue est proportionnelle à ${\vec {a}}$ et augmente la résistance du système à l'accélération. De ce fait, on peut considérer (par définition) que celle-ci augmente la masse du système, la variation de masse Δm étant donnée (en utilisant la deuxième loi de Newton) par^[3] :

$\Delta m={\frac {F_{\mathrm {auto} }}{a}}$

En appelant cette variation de masse la "masse électromagnétique d'interaction" des deux charges, on obtient^[3] :

m_{\mathrm {elec} }={\frac {F_{\mathrm {auto} }}{a}}={\frac {2q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}

Notons que si les charges q1 et q2 sont de même signe, la masse électromagnétique obtenue est positive (on parle alors d'excès de masse), tandis que si les charges q1 et q2 sont de signe opposé, la masse électromagnétique est négative (on parle alors de défaut de masse).

En notant respectivement m1 la masse de la charge q1, m2 la masse de la charge q2, et M_tot la masse totale du système {q1+q2}, on a finalement :

M_{tot}=m_{1}+m_{2}+{\frac {2q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}

Conclusion : Les lois de l'électromagnétisme classique montrent que les interactions à distance entre particules chargées peuvent avoir une incidence sur la masse globale d'un système, ce qui implique que l'inertie d'un corps ne dépend pas uniquement de la quantité de matière qu'il contient. L'apparition d'une masse d'interaction est causée par la finitude de la vitesse à laquelle se propagent les champs dans l'espace (c). Ainsi, un condensateur chargé sera par exemple plus massif que le même condensateur non chargé, même si les deux sont constitués du même nombre exact de particules et qu'il n'y a pas eu d'échange de matière avec l'extérieur.

Orientation transverse

Force d'auto-interaction d'un système de deux charges en configuration transverse (θ = 90°)

En considérant cette fois la situation dans laquelle l'accélération ${\vec {a}}$ du système de deux charges ponctuelles est orthogonale à l'axe de la paire de charges (θ = 90°), on trouve, pour la force d'auto-interaction^[3]^,^[6] :

F_{auto}={\frac {q_{1}q_{2}a}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}

ce qui implique :

m_{\mathrm {elec} }={\frac {F_{\mathrm {auto} }}{a}}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}

La masse d'interaction obtenue est deux fois plus faible que dans le cas longitudinal^[3].

Courbure des lignes de champ électrique dans le référentiel accéléré de deux charges

Pour comprendre qualitativement l'émergence de cette force d'auto-interaction en configuration transverse, on peut se placer dans le référentiel accéléré des deux charges, et considérer que les lignes de champ électrostatique vont alors y apparaître courbées^[7], comme l'est la trajectoire d'une balle de tennis dans un champ gravitationnel. Chaque charge expérimentera ainsi une très légère composante de force électrique dans le sens opposé à l'accélération, avec Ex ~ Ey*(a r / c²) (suivant le principe d'équivalence de la relativité générale, les lignes de champ électrostatique sont également courbées de cette même manière pour une charge au repos dans un champ gravitationnel^[7]^,^[8]). Si les charges sont de signe opposé, la force d'auto-interaction sera dirigée dans le sens de ${\vec {a}}$ .

Orientation quelconque

Si l'axe de la paire de charges réalise un angle θ quelconque avec le vecteur accélération ${\vec {a}}$ , la masse électromagnétique d'interaction des deux charges est^[3] :

m_{\mathrm {elec} }={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}\left(1+\cos ^{2}\theta \right)

le facteur (1 + cos² θ) pouvant varier entre 1 et 2.

Apparition d'une force orthogonale à l'accélération

Forces d'auto-interaction d'un système de deux charges en accélération pour un angle θ quelconque

Lorsque θ n'est ni égal à 0° ni égal à 90°, une force d'auto-interaction perpendiculaire à l'accélération ( $F_{\perp }$ ) fait également son apparition, en plus de celle colinéaire à l'accélération^[3] :

F_{\perp }={\frac {q_{1}q_{2}a}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}\cos(\theta )\sin(\theta )

Cependant, seule $F_{\parallel }$ peut être considérée comme contribuant à l'inertie du système. Pour rappel :

F_{\parallel }={\frac {q_{1}q_{2}a}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}\left(1+\cos ^{2}\theta \right)

$F_{\perp }$ est maximisée lorsque θ = 45°. On peut s'en convaincre en utilisant l'identité trigonométrique :

\cos(\theta )\sin(\theta )={\frac {1}{2}}\sin(2\theta )

sin(2θ) est maximisé pour θ = 45°.

Exemples

Défaut de masse de l'atome d'hydrogène

Un atome d'hydrogène est constitué de deux particules de charges électriques opposées (un proton et un électron) en interaction.

Les masses respectives d'un proton et d'un électron isolés sont données par :

m_{p}=1{,}672621924\times 10^{-27}\,\mathrm {kg}

m_{e}=9{,}109383702\times 10^{-31}\,\mathrm {kg}

Si on calcule la somme de ces deux masses, on trouve :

m_{p}+m_{e}=1{,}673532862\times 10^{-27}\,\mathrm {kg}

Or, la masse réelle (expérimentale) d'un atome hydrogène est donnée par :

m_{H}=1{,}673532838\times 10^{-27}\,\mathrm {kg}

On trouve :

m_{H}<m_{p}+m_{e}

L'écart entre les deux masses (le défaut de masse) est :

\Delta m=2{,}4\times 10^{-35}\,\mathrm {kg}

Ce défaut de masse est précisément la masse électromagnétique d'interaction (en l'occurrence négative) entre le proton et l'électron. Elle est environ 100 millions de fois plus faible que la masse totale de l'atome d'hydrogène.

Masse électromagnétique d'une sphère chargée

Considérons une sphère de rayon R.

Sphère uniformément chargée en volume

Si la sphère porte une densité volumique de charge uniforme ρ dans tout son volume, nous pouvons calculer sa masse électromagnétique en intégrant les forces d'interaction mutuelles entre toutes les paires infinitésimales de charges. La masse électromagnétique d'une telle sphère chargée est donnée par :

M_{\mathrm {elec} }={\frac {16\pi \,\rho ^{2}R^{5}}{45\varepsilon _{0}}}

On peut également exprimer le même résultat en fonction de la charge totale Q portée par la sphère :

M_{\mathrm {elec} }={\frac {Q^{2}}{5\pi \varepsilon _{0}R}}

Sphère uniformément chargée en surface

Considérons cette fois-ci que la sphère est chargée en surface, avec une densité surfacique de charge σ uniforme. On a alors^[3]^,^[9] :

M_{\mathrm {elec} }={\frac {8\pi \,\sigma ^{2}R^{3}}{3\varepsilon _{0}}}

ou,

M_{\mathrm {elec} }={\frac {Q^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}R}}

Lien entre masse électromagnétique et impulsion du champ

Outre l'utilisation de la relation m=F/a, il existe une seconde méthode permettant de calculer la masse électromagnétique d'un système^[3] : celle-ci consiste à calculer l'impulsion ${\vec {p}}$ du champ électromagnétique pour une vitesse ${\vec {v}}$ arbitraire, puis à utiliser m=p/v. L'impulsion du champ électromagnétique est donnée par^[9] :

${\vec {p}}=\varepsilon _{0}\iiint ({\vec {E}}\wedge {\vec {B}})\,dV$

Pour deux corps 1 et 2 en interaction, on a :

${\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}$ et ${\vec {B}}={\vec {B}}_{1}+{\vec {B}}_{2}$

ce qui implique :

{\vec {p}}=\varepsilon _{0}\iiint (({\vec {E}}_{1}\wedge {\vec {B}}_{1})+({\vec {E}}_{2}\wedge {\vec {B}}_{2})+({\vec {E}}_{1}\wedge {\vec {B}}_{2})+({\vec {E}}_{2}\wedge {\vec {B}}_{1}))\,dV

Parmi les quatre termes obtenus, les deux premiers correspondent aux masses électromagnétiques individuelles des corps 1 et 2. Si l'on souhaite uniquement calculer la masse électromagnétique d'interaction entre 1 et 2, on ne doit prendre en considération que les deux derniers termes^[3].

Cette méthode de calcul de la masse électromagnétique permet de retrouver exactement les mêmes résultats que par la méthode m=F/a dans toutes les situations^[3] (les deux méthodes découlent des équations de Maxwell et de la force de Lorentz).

À la fin du XIX^e siècle, certains physiciens sont allés jusqu'à avancer l'idée que la masse « mécanique » n'existait pas, et que 100% de la masse des corps était en réalité d'origine électromagnétique^[10]. Cependant, une telle hypothèse revient par exemple à devoir considérer l'électron et les autres particules élémentaires comme une distribution sphérique de charge, ce qu'il est impossible d'admettre sans une connaissance détaillée de la structure interne de ces particules^[10]. De plus, on sait aujourd'hui que d'autres interactions de la nature, à l'instar de la gravitation et de l'interaction nucléaire forte, peuvent également influer sur la masse des corps (les défauts de masse nucléaires en sont une illustration).

Lien avec l'énergie potentielle électrostatique et E=mc²

L'énergie potentielle d'interaction électrostatique de deux charges ponctuelles q1 et q2 est donnée par :

$E_{p}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}$

D'après les résultats qui précèdent pour la masse électromagnétique d'interaction, cela implique que pour un système de deux charges orientées selon un axe colinéaire au vecteur accélération ${\vec {a}}$ (θ = 0°), on a :

m_{\mathrm {elec} }={\frac {2E_{\mathrm {p} }}{c^{2}}}

Si l'axe sur lequel sont situées les charges est orthogonal au vecteur accélération ${\vec {a}}$ (θ = 90°), on a :

m_{\mathrm {elec} }={\frac {E_{\mathrm {p} }}{c^{2}}}

Par conséquent, le cas transverse est en accord avec la relation générale d'Albert Einstein liant la masse et l'énergie (E=mc²), tandis que le cas longitudinal diffère d'un facteur 2 avec cette formule^[3].

Le problème 4/3

Si l'on considère une distribution de charge sphérique (que la charge soit distribuée à la surface de la sphère ou dans son volume), on trouve toujours^[10] :

M_{\mathrm {elec} }={\frac {4}{3}}{\frac {E_{p}}{c^{2}}}

Cet écart entre les résultats des deux calculs (E=mc² et la théorie électromagnétique) a donné lieu à de nombreux débats depuis le début du XX^e siècle^[9]^,^[10]. C'est ce qu'on appelle le paradoxe 4/3.

Les contraintes de Poincaré

L'une des propositions les plus connues pour résoudre ce paradoxe a été proposée en 1906 par Henri Poincaré : celle-ci consiste à observer qu'un système chargé n'est fondamentalement pas stable, et qu'il devrait tendre à éclater en l'absence de forces non-électromagnétiques externes pour le stabiliser^[3]^,^[10]. L'idée de Poincaré est que ces forces non-électromagnétiques, les contraintes de Poincaré, corrigent les écarts de masse entre celles prédites par les lois de l'électromagnétisme et celles prévues par E=mc².

Fission nucléaire

Dans le processus de fission nucléaire, un noyau atomique lourd est scindé en nucléides plus légers. La force électrostatique s'exerçant entre ces fragments de noyau (chargés positivement) provoque une répulsion très intense qui dégage une grande quantité d'énergie. On a alors conversion d'énergie potentielle électrostatique en énergie cinétique et en rayonnement (dans le cas de la fusion nucléaire, c'est de l'énergie potentielle associée à l'interaction forte qui est libérée).

La masse de l'ensemble des produits de la réaction nucléaire est alors plus faible que la masse totale initiale. Cet écart correspond à la diminution de la masse électromagnétique du système due à l'éloignement des particules chargées (les protons), qui étaient à l'origine regroupées dans un même noyau. Le même phénomène de déperdition de masse électromagnétique se produit lorsque de l'énergie est libérée par des réactions chimiques, mais dans des proportions beaucoup moins importantes.

Origine de l'induction électromagnétique

Si l'on reprend l'expression (jusqu'à l'ordre 1/c²) du champ électrique créé par une charge ponctuelle q en régime quasi-stationnaire :

$\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {\mathbf {n} }{r^{2}}}-{\frac {\mathbf {a} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} )\,\mathbf {n} }{2c^{2}r}}\right)$

on repère aisément le terme responsable de la masse électromagnétique (terme n°2). Ce terme, en plus d'être responsable de la masse électromagnétique, est aussi à l'origine du phénomène d'induction électromagnétique. En effet, c'est également lui qui explique pourquoi une tension peut apparaître dans un circuit électrique lorsque le courant varie. Cela est lié au fait que l'accélération des charges provoque des effets de retard dans la propagation du champ électrique, qui se manifestent par l'apparition de ce terme d'induction (notons par ailleurs que contrairement au terme coulombien, celui-ci n'est pas conservatif). Si la propagation du champ électrique était instantanée, l'induction électromagnétique n'existerait pas, de même que la masse électromagnétique.

Ceci explique pourquoi une inductance tend à présenter une forme d'inertie électromagnétique, en s'opposant aux variations de courant électrique. Ce faisant, une inductance L emmagasine de l'énergie de la même façon qu'une masse M emmagasine de l'énergie cinétique :

E_{c}={\frac {1}{2}}Mv^{2}

;

E_{L}={\frac {1}{2}}Li^{2}

Pour rappel, une inductance est décrite par la relation :

u_{L}=L{\frac {di}{dt}}

En 1912, Albert Einstein a publié un article intitulé « Existe-t-il un effet gravitationnel analogue à l'induction électrodynamique ? »^[11], qui étend ces réflexions à l'interaction gravitationnelle.

Notes et références

↑ Joseph John Thomson, On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies, Philosophical Magazine. 5. Vol. 11, no. 68. pp. 229–249, 1881
↑ Kirk T. McDonald, On the History of the Radiation Reaction, Princeton University (2017), Partie 6 : J.J. Thomson and Electromagnetic Mass
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 David J. Griffiths, Russell E. Owen, Mass renormalization in classical electrodynamics, Am. J. Phys. 51, 1120–1126 (1983)
↑ (en) [vidéo] ViaScience, « Quantum Field Theory 5a - Classical Electrodynamics I », sur YouTube, 2020, [vidéo] « Quantum Field Theory 5b - Classical Electrodynamics II », sur YouTube, 2020
↑ Jonas Larsson, Electromagnetics from a quasistatic perspective, Deparment of Physics, Umea University, SE-90187 Umea, Suède, 2006
↑ Timothy H. Boyer, Electrostatic potential energy leading to an inertial mass change for a system of two point charges, Am. J. Phys. 46, 383–385 (1978)
1 2 Maria Becker, Adam Caprez, Herman Batelaan, On the Classical Coupling between Gravity and Electromagnetism, Atoms, 2015
↑ Timothy H. Boyer, Electrostatic potential energy leading to a gravitational mass change for a system of two point charges, Am. J. Phys. 47 (1979) 129-131
1 2 3 David J. Griffiths, Resource Letter EM-1: Electromagnetic Momentum, Am. J. Phys. 80, 7–18 (2012)
1 2 3 4 5 Le Cours de Physique de Feynman, Électromagnétisme 2, Chap. 28 : La masse électromagnétique
↑ Albert Einstein, Gibt es eine Gravitationswirkung, die der elektrodynamischen Induktionswirkung analog ist?, Vierteljahrsschrift für gerichtliche Medizin und öffentliches Sanitätswesen, vol. 44, 1912, p. 37-40.

Voir aussi

Champ électrique
Loi de Coulomb
Équations de Maxwell
Équations de Panofsky-Phillips
Approximation des régimes quasi-stationnaires
Masse / Inertie
E=mc²
Inductance

Portail de la physique

[1] Joseph John Thomson, On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies, Philosophical Magazine. 5. Vol. 11, no. 68. pp. 229–249, 1881

[2] Kirk T. McDonald, On the History of the Radiation Reaction, Princeton University (2017), Partie 6 : J.J. Thomson and Electromagnetic Mass

[Griffiths&Owen-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 David J. Griffiths, Russell E. Owen, Mass renormalization in classical electrodynamics, Am. J. Phys. 51, 1120–1126 (1983)

[4] (en) [vidéo] ViaScience, « Quantum Field Theory 5a - Classical Electrodynamics I », sur YouTube, 2020, [vidéo] « Quantum Field Theory 5b - Classical Electrodynamics II », sur YouTube, 2020

[5] Jonas Larsson, Electromagnetics from a quasistatic perspective, Deparment of Physics, Umea University, SE-90187 Umea, Suède, 2006

[6] Timothy H. Boyer, Electrostatic potential energy leading to an inertial mass change for a system of two point charges, Am. J. Phys. 46, 383–385 (1978)

[Gravity&Electromagnetism-7] 1 2 Maria Becker, Adam Caprez, Herman Batelaan, On the Classical Coupling between Gravity and Electromagnetism, Atoms, 2015

[8] Timothy H. Boyer, Electrostatic potential energy leading to a gravitational mass change for a system of two point charges, Am. J. Phys. 47 (1979) 129-131

[Momentum-9] 1 2 3 David J. Griffiths, Resource Letter EM-1: Electromagnetic Momentum, Am. J. Phys. 80, 7–18 (2012)

[Feynman-10] 1 2 3 4 5 Le Cours de Physique de Feynman, Électromagnétisme 2, Chap. 28 : La masse électromagnétique

[11] Albert Einstein, Gibt es eine Gravitationswirkung, die der elektrodynamischen Induktionswirkung analog ist?, Vierteljahrsschrift für gerichtliche Medizin und öffentliches Sanitätswesen, vol. 44, 1912, p. 37-40.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

v · m Électromagnétisme
Électrostatique	Champ électrique Charge électrique Loi de Coulomb Théorème de Gauss Potentiel électrique
Magnétostatique	Champ magnétique Courant électrique Loi de Biot-Savart Théorème d'Ampère Potentiel vecteur
Électrodynamique	Champ électromagnétique Force de Lorentz Équations de Maxwell Courant de déplacement Propagation Théorème de Helmholtz Potentiels retardés Potentiels de Liénard-Wiechert Équations de Panofsky-Phillips Équations de Jefimenko Rayonnement Tension électrique Champ proche / champ lointain Antenne Pression radiative ARQS Masse électromagnétique Induction Inductance Force électromotrice Courants de Foucault Loi de Lenz-Faraday Force d'Abraham-Lorentz Résistance radiative Théorème de Poynting Tenseur de Maxwell
Magnétisme	Bobine Circuit magnétique Aimantation Domaine de Weiss Loi de Curie Loi de Curie-Weiss Perméabilité magnétique Susceptibilité magnétique Spin Comportements magnétiques Altermagnétisme Antiferromagnétisme Diamagnétisme Ferrimagnétisme Ferromagnétisme Hélimagnétisme Paramagnétisme Superparamagnétisme Effet magnétocalorique
Électromagnétisme et relativité	Principe de relativité Transformations de Galilée Éther Expérience de Trouton-Noble Expérience de Michelson et Morley Théorie de l'éther de Lorentz Relativité restreinte Transformations de Lorentz des champs Expériences KBN Théorie de l'émission Effet Doppler relativiste Rayonnement synchrotron Tests de la relativité restreinte Tests de l'énergie et de la quantité de mouvement relativistes Interaction spin-orbite
Automatique Électricité Électrochimie Électronique Électrotechnique Robotique Traitement du signal