Approximation des régimes quasi stationnaires

En électromagnétisme, l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS, on parle aussi d'ARQP pour « permanents » au lieu de « stationnaires ») consiste à considérer le temps de propagation du champ électromagnétique comme très faible devant la période du signal.

Ainsi, pour un signal périodique, de période temporelle T et de période spatiale λ = cT, et pour un observateur situé à une distance r d'un point quelconque du circuit, on est dans le cadre de l'ARQS si r << λ. En ce sens, se placer dans l'ARQS revient à étudier les champs électrique et magnétique dans la zone de champ proche (r << λ).

Exemples

Soit un émetteur d'ondes radio de fréquence $f=180\ \mathrm {kHz}$ ( $T=5{,}6\ \mu \mathrm {s}$ ).

Soit un récepteur situé à une distance $r=10\ \mathrm {cm}$ de l'émetteur. Alors, le temps de propagation sera $\Delta t=r/c=0{,}33\ \mathrm {ns}$ . $\Delta t\ll T,$ donc l'approximation est valable.
Soit un récepteur situé à une distance $r=1\ \mathrm {km}$ de l'émetteur. Alors, le temps de propagation sera $\Delta t=r/c=3{,}3\ \mu \mathrm {s}$ . $\Delta t$ n'est plus négligeable devant $T$ , donc l'approximation n'est plus valable.

Conséquence de l'ARQS

Comme les champs électrique et magnétique ne se propagent pas dans l'espace de manière instantanée, mais à la vitesse de la lumière $c$ (voir les équations de Panofsky-Phillips), le champ électromagnétique doit toujours être calculé en fonction de l'état de ses sources à l'instant passé $(t-r/c)$ , et non à l'instant présent $t$ .

Cependant, si l'on se place à une distance suffisamment proche de la source du champ électromagnétique (r << λ), le retard existe toujours, mais devient suffisamment petit pour que la modification qu'il induit sur le champ puisse être exprimée (grâce à un développement limité) par une série de termes instantanés.

En effet, si l'on considère une source quelconque du champ électromagnétique $f(t-r/c)$ , le développement limité suivant^[1] nous permet d'exprimer cette quantité retardée exclusivement à partir de la valeur à l'instant présent de cette même quantité et de ses dérivées temporelles successives :

{\begin{aligned}f\!\left(t-{\frac {r}{c}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\,{\frac {\partial ^{n}f(t)}{\partial t^{n}}}\left({\frac {r}{c}}\right)^{n}\\[4pt]&=f(t)-f'(t){\frac {r}{c}}+{\frac {1}{2!}}f''(t){\frac {r^{2}}{c^{2}}}-{\frac {1}{3!}}f'''(t){\frac {r^{3}}{c^{3}}}+\cdots \end{aligned}}

Il s'agit d'un développement en série de Taylor.

Démonstration

La formule de Taylor-Young donne :

$f(a+h)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}h^{n}=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}h+{\frac {f''(a)}{2!}}h^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}h^{3}+\cdots$

En remplaçant a par t et h par (-r/c), on obtient :

$f\!\left(t-{\frac {r}{c}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\,{\frac {\partial ^{n}f(t)}{\partial t^{n}}}\left({\frac {r}{c}}\right)^{n}=f(t)-f'(t){\frac {r}{c}}+{\frac {1}{2!}}f''(t){\frac {r^{2}}{c^{2}}}-{\frac {1}{3!}}f'''(t){\frac {r^{3}}{c^{3}}}+\cdots$

Par exemple, si la source du champ est la densité de courant retardée J(t - r/c), le développement limité donne :

\mathbf {J} \left(t-{\frac {r}{c}}\right)=\mathbf {J} (t)-{\dot {\mathbf {J} }}(t){\frac {r}{c}}+{\frac {1}{2!}}{\ddot {\mathbf {J} }}(t){\frac {r^{2}}{c^{2}}}-\cdots

On se ramène alors à un problème dans lequel on peut calculer le champ électromagnétique exclusivement en fonction de l'état actuel de ses sources. Cette méthode n'est applicable que dans la zone de champ proche r << λ.

Exemple^[2]

Considérons l'expression générale du champ magnétique B :

$\mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]\wedge \mathbf {n} }{c^{2}r^{2}}}+{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\wedge \mathbf {n} }{c^{3}r}}\right)\,dV'$

avec : $[\mathbf {J} ]=\mathbf {J} \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)$ et $\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]={\dot {\mathbf {J} }}\!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)$

Admettons que l'on veuille calculer l'expression du champ B dans la zone de champ proche, c'est-à-dire à une distance r de la source telle que r << λ, jusqu'au terme en ${\ddot {\mathbf {J} }}$ .

On effectue alors un développement limité sur chaque source de B, à savoir $[\mathbf {J} ]$ et $[{\dot {\mathbf {J} }}]$ :

\mathbf {J} \left(t-{\frac {r}{c}}\right)=\mathbf {J} (t)-{\dot {\mathbf {J} }}(t){\frac {r}{c}}+{\frac {1}{2!}}{\ddot {\mathbf {J} }}(t){\frac {r^{2}}{c^{2}}}

{\dot {\mathbf {J} }}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)={\dot {\mathbf {J} }}(t)-{\ddot {\mathbf {J} }}(t)\,{\frac {r}{c}}

En injectant ensuite ces expressions dans la formule générale du champ B, on trouve :

$\mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \left({\frac {\mathbf {J} \wedge \mathbf {n} }{c^{2}r^{2}}}-{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}\wedge \mathbf {n} }{c^{3}r}}+{\frac {{\ddot {\mathbf {J} }}\wedge \mathbf {n} }{2c^{4}}}+{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}\wedge \mathbf {n} }{c^{3}r}}-{\frac {{\ddot {\mathbf {J} }}\wedge \mathbf {n} }{c^{4}}}\right)dV$

En simplifiant, on obtient finalement :

$\mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \left({\frac {\mathbf {J} \wedge \mathbf {n} }{c^{2}r^{2}}}-{\frac {{\ddot {\mathbf {J} }}\wedge \mathbf {n} }{2c^{4}}}\right)dV$

On peut ainsi remarquer que dans le cadre de l'ARQS, le champ magnétique n'est pas influencé par les variations de courant ${\dot {\mathbf {J} }}$ , c'est-à-dire par l'accélération des charges sources. En effet, le terme de rayonnement (second terme) s'annule avec la partie retardée du champ de vitesse (terme de Biot-Savart). L'expression de B dans l'ARQS est donc quasiment la même qu'en magnétostatique ; on pourra légitimement l'approximer par la loi de Biot-Savart.

En régime quasi-stationnaire, l'expression du champ E est donnée (jusqu'à l'ordre $1/c^{3}$ ) par :

$\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \left({\frac {\rho \,\mathbf {n} }{r^{2}}}-{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}+({\dot {\mathbf {J} }}\cdot \mathbf {n} )\,\mathbf {n} }{2c^{2}r}}+{\frac {2}{3}}{\frac {\ddot {\mathbf {J} }}{c^{3}}}\right)dV$

Trois termes apparaissent dans cette expression :

Le premier terme est le champ coulombien, qui rend compte des forces électrostatiques et des effets capacitifs dans les circuits électriques.

Le deuxième terme est lié aux variations temporelles de courant électrique ${\dot {\mathbf {J} }}$ , c'est-à-dire à l'accélération des charges sources. Ce champ est à l'origine des phénomènes de masse électromagnétique et d'induction électromagnétique ; il est notamment la cause de l'inductance des circuits électriques.

Le troisième terme est lié à la variation temporelle seconde des courants, c'est-à-dire à l'à-coup des charges sources (l'à-coup étant la dérivée temporelle de l'accélération). Il s'agit d'un champ uniforme, identique en tout point de l'espace (il est indépendant de la distance r entre la source et l'observateur). Ce terme est à l'origine de la force d'Abraham-Lorentz et de la résistance radiative des antennes dipolaires.

L'expression de E dans l'ARQS diffère donc de celle du régime stationnaire (électrostatique) par l'apparition de nouveaux termes, responsables d'effets tels que la masse électromagnétique, l'induction et l'amortissement par auto-interaction. L'existence de ces termes est liée au fait que le champ électrique ne se propage pas instantanément, mais avec un léger retard. Cette expression nous indique notamment pourquoi les tensions inductives sont proportionnelles à la fréquence f des courants, et pourquoi la résistance de rayonnement des antennes dipolaires est proportionnelle au carré de la fréquence (f²) des courants.

Modèles quasi-stationnaires modifiant les équations de Maxwell

Une autre manière d'approximer les champs dans la zone de champ proche, moins rigoureuse que par le développement limité précédent, consiste à modifier les équations de Maxwell.

Trois principaux modèles reposant sur une modification des équations de Maxwell se présentent^[3] : l'électroquasistatique (EQS), la magnétoquasistatique (MQS) et le modèle de Darwin.

Ces modèles sont tous des approximations ne fonctionnant que dans des cas spécifiques, et aucun d'entre eux ne capte l'intégralité des phénomènes quasi-stationnaires. Par exemple, l'existence de la force d'Abraham-Lorentz, responsable de l'amortissement d'une charge oscillante et de la résistance de rayonnement des antennes dipolaires, n'est prédite par aucun de ces trois modèles.

Électroquasistatique (EQS)

L'approximation électroquasistatique (également appelée ARQS électrique) consiste à modifier l'équation de Maxwell-Faraday (en conservant les trois autres équations de Maxwell inchangées), en considérant le rotationnel du champ électrique E comme nul.

Dans le cadre de l'EQS, les nouvelles équations de Maxwell s'écrivent alors :

\operatorname {div} \!\left(\mathbf {E} \right)={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

\operatorname {div} \!\left(\mathbf {B} \right)=0

\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {E} \right)=\mathbf {0}

\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {B} \right)=\mu _{0}\,\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

Les champs E et B solutions de ces équations de Maxwell modifiées sont donnés par :

\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)

\mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)

avec :

V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\rho }{r}}\right)\,dV

\mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\iiint \left({\frac {\mathbf {J} }{r}}\right)\,dV

ce qui conduit à :

\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\iiint \left({\frac {\rho \,\mathbf {n} }{r^{2}}}\right)\,dV

\mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\iiint \left({\frac {\mathbf {J} \wedge \mathbf {n} }{r^{2}}}\right)\,dV

On trouve la version intégrale de la loi de Coulomb pour le champ E, et de la loi de Biot et Savart pour le champ B. Le modèle EQS respecte (grâce au courant de déplacement) la loi de conservation de la charge, mais il ne rend en revanche pas compte des phénomènes inductifs.

Pour une charge ponctuelle q, cela donne :

\mathbf {E} ={\frac {q\,\mathbf {n} }{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}\,

\mathbf {B} ={\frac {q\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {n} \right)}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r^{2}}}\,

Magnétoquasistatique (MQS)

L'équation de Maxwell-Ampère :

\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {B} \right)=\mu _{0}\,\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

donne le rotationnel du champ magnétique comme une somme de deux termes.

En magnétoquasistatique (également appelée ARQS magnétique), on choisit de négliger le second terme de cette équation (c'est-à-dire le courant de déplacement) en laissant inchangées les trois autres équations de Maxwell. On peut s'autoriser cette approximation dans le cas où la divergence de la densité de courant est nulle partout dans l'espace (div(J) = 0). Autrement dit, il ne faut pas qu'il existe de densité de charge qui varie. Choisir de se placer en MQS est donc possible si :

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0

Si cette condition n'est pas réalisée (comme par exemple dans un condensateur), ce modèle n'est alors plus pertinent pour calculer l'expression correcte du champ électrique.

En MQS, l'équation de Maxwell-Ampère devient :

\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {B} \right)=\mu _{0}\,\mathbf {J}

Les champs E et B solutions du modèle MQS sont donnés par :

\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

\mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)

avec :

V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\rho }{r}}\right)\,dV

\mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\iiint \left({\frac {\mathbf {J} }{r}}\right)\,dV

ce qui conduit à :

\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\iiint \left({\frac {\rho \,\mathbf {n} }{r^{2}}}-{\frac {\dot {\mathbf {J} }}{c^{2}r}}\right)\,dV

\mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\iiint \left({\frac {\mathbf {J} \wedge \mathbf {n} }{r^{2}}}\right)\,dV

Le phénomène d'induction électromagnétique est décrit par le second terme apparaissant dans l'expression du champ E.

Modèle de Darwin

Dans le modèle de Darwin, comme en MQS, on modifie l'équation de Maxwell-Ampère, mais en ne négligeant qu'une partie du courant de déplacement. On choisit de remplacer le champ E par la partie conservative (c'est-à-dire irrotationnelle) du champ E. On néglige donc uniquement la variation temporelle de la partie non conservative de E, au lieu de négliger complètement la variation de E. En faisant cela, on rend ce modèle compatible avec la loi de conservation de la charge, ce qui n'était pas le cas de la MQS.

Dans ce modèle, l'équation de Maxwell-Ampère devient :

\mathbf {rot} \!\left(\mathbf {B} \right)=\mu _{0}\,\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} _{\mathrm {irr} }}{\partial t}}

Les champs E et B solutions du modèle de Darwin sont donnés par :

\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

\mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)

avec :

V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\rho }{r}}\right)\,dV

\mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\mathbf {J} +\left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {n} }{2r}}\right)\,dV

ce qui conduit à :

\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\iiint \left({\frac {\rho \,\mathbf {n} }{r^{2}}}-{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}+\left({\dot {\mathbf {J} }}\cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {n} }{2c^{2}r}}\right)\,dV

\mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\iiint \left({\frac {\mathbf {J} \wedge \mathbf {n} }{r^{2}}}\right)\,dV

Parmi les trois modèles quasi-stationnaires évoqués, celui de Darwin est le plus complet, car il peut (contrairement à la MQS) être appliqué même si des densités de charge variables existent, tout en rendant compte (contrairement à l'EQS) du phénomène d'induction électromagnétique (celui-ci est décrit par le second terme apparaissant dans l'expression du champ E de Darwin). Le modèle de Darwin peut notamment être employé dans les calculs de masse électromagnétique.

Pour une charge ponctuelle q, on obtient :

\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {\mathbf {n} }{r^{2}}}+{\frac {v^{2}-3(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )^{2}}{2c^{2}r^{2}}}\,\mathbf {n} -{\frac {\mathbf {a} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} )\,\mathbf {n} }{2c^{2}r}}\right)

\mathbf {B} ={\frac {q\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {n} \right)}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r^{2}}}\,

Ce modèle est nommé d'après le physicien britannique Charles Galton Darwin.

Notes et références

↑ John D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, Inc. (First ed., 1962), Section 17.3 : Abraham-Lorentz Evaluation of the Self-Force, formule (17.24)
↑ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Pearson (Fourth ed., 2013), Section 10.2.2 : Jefimenko's Equations, Problem 10.14
↑ Jonas Larsson, Electromagnetics from a quasistatic perspective, Deparment of Physics, Umea University, SE-90187 Umea, Suède, 2006.

Voir aussi

Portail de la physique

Portail de l’électricité et de l’électronique

[1] John D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, Inc. (First ed., 1962), Section 17.3 : Abraham-Lorentz Evaluation of the Self-Force, formule (17.24)

[2] David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Pearson (Fourth ed., 2013), Section 10.2.2 : Jefimenko's Equations, Problem 10.14

[3] Jonas Larsson, Electromagnetics from a quasistatic perspective, Deparment of Physics, Umea University, SE-90187 Umea, Suède, 2006.

[1]

[2]

[3]

v · m Électromagnétisme
Électrostatique	Champ électrique Charge électrique Loi de Coulomb Théorème de Gauss Potentiel électrique
Magnétostatique	Champ magnétique Courant électrique Loi de Biot-Savart Théorème d'Ampère Potentiel vecteur
Électrodynamique	Champ électromagnétique Force de Lorentz Équations de Maxwell Courant de déplacement Propagation Théorème de Helmholtz Potentiels retardés Potentiels de Liénard-Wiechert Équations de Panofsky-Phillips Équations de Jefimenko Rayonnement Tension électrique Champ proche / champ lointain Antenne Pression radiative ARQS Masse électromagnétique Induction Inductance Force électromotrice Courants de Foucault Loi de Lenz-Faraday Force d'Abraham-Lorentz Résistance radiative Théorème de Poynting Tenseur de Maxwell
Magnétisme	Bobine Circuit magnétique Aimantation Domaine de Weiss Loi de Curie Loi de Curie-Weiss Perméabilité magnétique Susceptibilité magnétique Spin Comportements magnétiques Altermagnétisme Antiferromagnétisme Diamagnétisme Ferrimagnétisme Ferromagnétisme Hélimagnétisme Paramagnétisme Superparamagnétisme Effet magnétocalorique
Électromagnétisme et relativité	Principe de relativité Transformations de Galilée Éther Expérience de Trouton-Noble Expérience de Michelson et Morley Théorie de l'éther de Lorentz Relativité restreinte Transformations de Lorentz des champs Expériences KBN Théorie de l'émission Effet Doppler relativiste Rayonnement synchrotron Tests de la relativité restreinte Tests de l'énergie et de la quantité de mouvement relativistes Interaction spin-orbite
Automatique Électricité Électrochimie Électronique Électrotechnique Robotique Traitement du signal