Théorème de Poynting

La puissance échangée par une charge électrique q avec un champ électromagnétique (E, B) est donnée par :

$${\displaystyle P=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }$$

où v est la vitesse de la particule chargée, et où F est la force de Lorentz :

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \wedge \mathbf {B} \right)}$$

On en déduit :

$${\displaystyle P=q\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} }$$

Ce résultat indique que seul le champ électrique peut échanger de la puissance et donc de l'énergie avec la matière. En notant J la densité volumique de courant électrique, on peut donc affirmer que la puissance échangée par la matière contenue dans un volume V de l'espace avec le champ électromagnétique est donnée par :

$${\displaystyle P=\iiint \left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \right)\,dV}$$

En considérant l'équation de Maxwell-Ampère :

$${\displaystyle \mathbf {rot} \!\left(\mathbf {B} \right)=\mu _{0}\,\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$$

on remarque que celle-ci nous permet d'exprimer la densité de courant J en tout point de l'espace en fonction des champs E et B :

$${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\mathbf {rot} \,(\mathbf {B} )}{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$$

La puissance échangée par la matière avec le champ électromagnétique est donc :

$${\displaystyle P=\iiint \left(\left({\frac {\mathbf {rot} \,(\mathbf {B} )}{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} \right)dV}$$

En développant, on obtient :

$${\displaystyle P=\iiint \left({\frac {\mathbf {rot} \,(\mathbf {B} )\cdot \mathbf {E} }{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {E} \right)dV}$$

On peut ensuite utiliser l'identité vectorielle suivante :

$${\displaystyle \mathbf {rot} \,(\mathbf {B} )\cdot \mathbf {E} =\mathbf {rot} \,(\mathbf {E} )\cdot \mathbf {B} -\mathrm {div} \,(\mathbf {E} \wedge \mathbf {B} )}$$

ce qui nous donne :

$${\displaystyle P=\iiint \left({\frac {\mathbf {rot} \,(\mathbf {E} )\cdot \mathbf {B} }{\mu _{0}}}-{\frac {\mathrm {div} \,(\mathbf {E} \wedge \mathbf {B} )}{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {E} \right)dV}$$

Pour finir, on utilise l'équation de Maxwell-Faraday :

$${\displaystyle \mathbf {rot} \!\left(\mathbf {E} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$$

On obtient :

$${\displaystyle P=\iiint \left(-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathbf {B} -{\frac {\mathrm {div} \,(\mathbf {E} \wedge \mathbf {B} )}{\mu _{0}}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {E} \right)dV}$$

Par ailleurs,

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathbf {B} ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(B^{2}\right)\quad {\text{et}}\quad {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(E^{2}\right)}$$

ce qui conduit à :

$${\displaystyle P=\iiint \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {B^{2}}{\mu _{0}}}\right)-{\frac {\mathrm {div} \,(\mathbf {E} \wedge \mathbf {B} )}{\mu _{0}}}\right)dV}$$

Finalement :

• [Akbi 2021] Mohamed Akbi, Ondes électromagnétiques : cours, applications, exercices corrigés, Paris, Ellipses, coll. « Technosup / électromagnétisme », septembre 2021, 1^re éd., VIII-395 p., 17,5 × 26 cm (ISBN 978-2-340-05453-0, EAN 9782340054530, OCLC 1274196875, BNF 46879944, SUDOC 257833846, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Benson 2015] Harris Benson (trad. de l'anglais, adapté par Mathieu Lachance, Bernard Marcheterre, Marc Séguin et Benoît Villeneuve), Physique [« University physics »], t. II : Électricité et magnétisme, Louvain-la-Neuve, De Boeck supérieur, coll. « Collection noire », septembre 2015, 5^e éd. (1^re éd. septembre 1999), XXII-593 p., 21 × 2,75 cm (ISBN 978-2-8041-9380-5, EAN 9782804193805, OCLC 922973630, BNF 45137141, SUDOC 188663096, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Chaichian et al. 2016] (en) Masud Chaichian, Ioan Merches, Daniel Radu et Anca Tureanu, Electrodynamics : an intensive course, Berlin et Heidelberg, Springer, hors coll., novembre 2016 (réimpr. juin 2018), 1^re éd., XVII-669 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-642-17380-6 et 978-3-662-56853-8, OCLC 1026470856, DOI 10.1007/978-3-642-17381-3, SUDOC 196320240, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Deshmukh 2019] (en) P. C. Deshmukh, Foundations of classical mechanics, Cambridge, CUP, hors coll., décembre 2019, 1^re éd., XXX-560 p., 19,5 × 24,8 cm (ISBN 978-1-108-48056-7 et 978-1-108-72775-4, OCLC 1099275107, DOI 10.1017/9781108635639, SUDOC 256351058, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Poynting 1884] (en) J. H. Poynting, « On the transfer of energy in the electromagnetic field », Philosophical Transactions of the Royal Society, vol. 175,‎ décembre 1884, p. 343-361, article n^o XV (OCLC 8582165391, DOI 10.1098/rstl.1884.0016, JSTOR 109449, Bibcode 1884RSPT..175..343P, résumé, lire en ligne [PDF]) — article reçu le 17 décembre 1883 et lu le 10 janvier 1884.
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. Poynting (théorème de), p. 592, col. 1.
• [Wen 2010] (en) Wen Geyi, Foundations of applied electrodynamics, Chichester, Wiley, hors coll., juin 2010, 1^re éd., XVIII-504 p., 17,3 × 25,2 cm (ISBN 978-0-470-68862-5, OCLC 758837767, DOI 10.1002/9780470661369, SUDOC 147978920, présentation en ligne, lire en ligne).

• Équations de Maxwell
• Vecteur de Poynting
• Formule de Larmor

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