Formule de Larmor

Extrait de l'article de Joseph Lamor où il établit cette formule

En électromagnétisme, la formule de Larmor a été établie par Joseph Larmor en 1897^[1], dans le contexte de la théorie ondulatoire de la lumière. Une particule chargée, accélérée émet des radiations sous forme d'ondes électromagnétiques. La puissance totale émise est donnée par l'expression suivante :

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\mbox{ (unités SI)}}

P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\mbox{ (unités CGS)}}

où $a$ est l'accélération, $q$ la charge de la particule, $c$ la célérité de la lumière dans le vide, et $\epsilon _{0}\simeq$ 8,854 × 10⁻¹² F m⁻¹ est la permittivité du vide.

Cette formule n'est valable que pour des vitesses faibles devant celle de la lumière : la version relativiste de cette formule est celle de Liénard-Wiechert.

Établissement de la formule

Deux méthodes permettent de retrouver cette formule : l'une consiste à moyenner temporellement la puissance échangée avec la force d'Abraham-Lorentz, et l'autre à utiliser le théorème de Poynting.

Puissance dissipée par la force d'Abraham-Lorentz

Soit un corps chargé oscillant, de charge totale Q. La puissance échangée par ce système avec la force d'Abraham-Lorentz est donnée par :

$P=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}$

avec :

$\mathbf {F} ={\frac {2}{3}}\,{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\,{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}$

La moyenne temporelle de P sur chaque période d'oscillation est donnée par :

$\langle P\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \right)\,dt$

$\Rightarrow \langle P\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left({\frac {2}{3}}{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {v} \right)dt$

$\Rightarrow \langle P\rangle ={\frac {2}{3}}{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\left({\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {v} \right)dt$

Or, pour un mouvement périodique de période T, on a :

$\int _{0}^{T}\left({\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\cdot \mathbf {v} \right)dt=-\int _{0}^{T}\left(a^{2}\right)dt$

On obtient donc finalement :

$\langle P\rangle =-{\frac {2}{3}}{\frac {Q^{2}\langle a^{2}\rangle }{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}$

On a ici un signe (-) car il s'agit d'une puissance perdue par le système.

Calcul par le théorème de Poynting

L'idée consiste ici à intégrer le vecteur de Poynting sur une sphère fictive entourant la charge oscillante, de manière à déterminer le flux total quittant la charge.

Voir aussi

Références

↑ (en) J. Larmor, « LXIII. On the theory of the magnetic influence on spectra; and on the radiation from moving ions », The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. 44, n^o 271,‎ décembre 1897, p. 503–512 (ISSN 1941-5982 et 1941-5990, DOI 10.1080/14786449708621095, lire en ligne, consulté le 26 février 2025)

Portail de la physique

[1] (en) J. Larmor, « LXIII. On the theory of the magnetic influence on spectra; and on the radiation from moving ions », The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. 44, n^o 271,‎ décembre 1897, p. 503–512 (ISSN 1941-5982 et 1941-5990, DOI 10.1080/14786449708621095, lire en ligne, consulté le 26 février 2025)

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