Schéma haute résolution

En analyse numérique un schéma haute résolution est un schéma appartenant à une classe utilisée pour les équations aux dérivées partielles possédant les propriétés suivantes :

• il est d'ordre 2 au moins dans la région régulière de la fonction, y compris au voisinage d'une discontinuité de la fonction ou de sa dérivée ;
• il n'entraîne pas d'oscillations au voisinage d'une discontinuité ;
• le nombre de points de maillage contenant la discontinuité est faible comparé à un schéma du premier ordre présentant une précision similaire.

Les méthodes générales de résolution sont souvent inadaptées à la résolution de problèmes où existent phénomènes à fort gradient. Elles introduisent généralement des effets non physiques de dissipation (diffusion numérique) ou des oscillations parasites. Le théorème de Godounov (Sergueï Godounov, 1954 et 1959) démontre que les méthodes linéaires ne peuvent fournir de solutions non oscillatoires d'ordre supérieur à un. La méthode TVD (Amiram Harten, 1983) permet de préserver la monotonie de la solution. Les techniques de limitation du flux (Bram van Leer, 1979) permettent de supprimer les oscillations parasites des schémas d'ordre élevé. De nombreuses techniques ont été développées pour surmonter en grande partie ces problèmes. Pour s'en tenir aux plus importantes on peut citer :

• les méthodes MUSCL (Bram van Leer, 1979) ;
• les méthodes WENO (Xu-Dong Liu, Stanley Osher et Tony Chan, 1994),

Ces méthodes se différencient par la possibilité ou non d'avoir une précision élevée par montée en ordre de l'approximation. Cette amélioration se fait au détriment du coût de résolution et parfois de la dissipation dans les régions régulières de la fonction.

• (en) Eleuterio F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A Practical Introduction, Springer-Verlag, 1999 (ISBN 978-3540659662, lire en ligne)
• (en) Dale A. Anderson, John C. Tannehill, Richard H. Pletcher, Ramakanth Munipalli et Vijaya Shankar, Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, Taylor & Francis, 2020 (ISBN 978-1-351-12400-3)
• (en) Charles Hirsch, Numerical Computation of Internal and External Flows, vol. 2, Wiley, 1990 (ISBN 0-471-91762-1)
• (en) Culbert B. Laney, Computational Gasdynamics, Cambridge University Press, 1998 (ISBN 978-0-511-77720-2)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « High-resolution scheme » (voir la liste des auteurs).

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