Métrique intérieure de Schwarzschild

En relativité générale, la métrique intérieure de Schwarzschild^[1] est une solution de l'équation d'Einstein pour l'intérieur d'une boule statique de fluide parfait et incompressible^[2],[3],[4]. Elle est la plus simple des solutions analytiques qui permettent de modéliser l'intérieur d'une étoile relativiste^[2].

L'éponyme de la métrique est l'astronome allemand Karl Schwarzschild (1873-1916). Celui-ci en annonce la découverte par une lettre à Albert Einstein (1879-1955) datée du 6 février 1916^[5]. Le 24 février 1916, Einstein présente l'article de Schwarzschild à l'Académie royale des sciences de Prusse^[5] qui le publie dans ses Sitzungsberichte (« Comptes rendus ») le 23 mars 1916^[6].

Les conditions aux limites sont les suivantes^[7] :

1. La pression ${\displaystyle p}$ du fluide doit être nulle ${\displaystyle (p=0)}$ à la surface ${\displaystyle (r=a)}$ de la boule ;
2. La densité d'énergie ${\displaystyle \rho c^{2}}$ du fluide doit être constante ${\displaystyle (\rho ={\text{const.}})}$ pour ${\displaystyle 0\leqslant r\leqslant a}$ et nulle ${\displaystyle (\rho =0)}$ à l'extérieur ${\displaystyle (r>a)}$ de la boule ;
3. La métrique intérieure doit, à la surface de la boule, être identique à la métrique extérieure de Schwarzschild.

En coordonnées de Schwarzschild ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$ et avec une signature ${\displaystyle (-+++)}$, la métrique peut s'écrire^[8] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\frac {c^{2}}{4}}\left(3{\sqrt {1-{\frac {2GM}{ac^{2}r}}}}-{\sqrt {1-{\frac {2GM}{a3c2}}}}r\right)^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-{\dfrac {2GM}{a^{3}c^{3}}}r}}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$,

où :

• ${\displaystyle a}$ est le rayon de la boule de fluide,
• ${\displaystyle M}$ est sa masse,
• ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle,
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide,
• ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}}$ est la métrique d'une 2-sphère ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ unité, ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}}$,

et avec^[9] :

• ${\displaystyle a>{\frac {9GM}{4c^{2}}}}$.

Les propriétés d'une étoile modélisée par la métrique sont les suivantes.

La compacité ${\displaystyle \Xi }$ de l'étoile est donnée par^[10] :

${\displaystyle \Xi ={\frac {GM}{c^{2}R}}={\frac {GM}{c^{2}}}\left({\frac {4\pi \rho _{0}}{3M}}\right)^{\frac {1}{3}}={\frac {G}{c^{2}}}\left({\frac {4\pi \rho _{0}M^{2}}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}}$,

où :

• ${\displaystyle R}$ est la coordonnée r à la surface de l'étoile ;
• ${\displaystyle \rho _{0}}$ est la densité d'énergie à l'intérieur de l'étoile.

Ainsi, la masse de l'étoile peut s'exprimer en fonction de ${\displaystyle \rho _{0}}$ et de ${\displaystyle \Xi }$^[10] :

${\displaystyle M=\left({\frac {c^{2}}{G}}\Xi \right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {3}{4\pi \rho _{0}}}}}$.

Cela met en évidence qu'à ${\displaystyle \rho _{0}}$ fixé, ${\displaystyle M}$ est une fonction croissante de ${\displaystyle \Xi }$^[10].

L'étoile modélisée par la métrique n'est pas réaliste car à l'intérieur, la vitesse du son est infinie alors qu'en relativité, elle ne doit pas dépasser la vitesse limite qui coïncide avec celle la lumière dans le vide^[11].

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• [Andrillat 1970] Henri Andrillat (préf. Jean-Claude Pecker), Introduction à l'étude des cosmologies, Paris, A. Colin, coll. « Intersciences », 1970, 1^re éd., 223 p., 21 cm (OCLC 300091140, BNF 35372807, SUDOC 002174170, lire en ligne). 
• [Gourgoulhon 2014] Éric Gourgoulhon, Relativité générale (cours d'introduction à la relativité générale donné, pendant l'année universitaire 2013-2014, en 2^de année du master Astronomie, astrophysique et ingénierie spatiale de la Fédération des enseignements d'astronomie et d'astrophysique d'Île-de-France (observatoire de Paris, universités Paris-VI, Paris-VII et Paris-XI, et École normale supérieure)), Meudon, LUTh (UMR 8102), mars 2014, 341 p., 21 × 29,7 cm (HAL cel-00366315, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).
• [Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009] Michael P. Hobson, George P. Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'anglais américain par Loïc Villain, révision scientifique par Richard Taillet), Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles, Louvain-la-Neuve et Paris, De Boeck Supérieur, coll. « Noire », décembre 2009, 1^re éd., XX-554 p., 21,6 × 27,5 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8, EAN 9782804101268, OCLC 690272413, BNF 42142174, SUDOC 140535705, présentation en ligne, lire en ligne). .
• [Eman 2021] (en) Moataz H. Emam, Covariant physics : from classical mechanics to general relativity and beyond [« Physique covariante : de la mécanique classique à la relativité générale et au-delà »], Oxford, OUP, coll. « Oxford scholarship », mars 2021, 1^re éd., 416 p., 17,1 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-886489-9 et 978-0-19-886500-1, EAN 9780198864899, OCLC 1198976638, DOI 10.1093/oso/9780198864899.001.0001, Bibcode 2021cpfc.book.....E, S2CID 236747090, SUDOC 253233623, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Matzner 2001] (en) Richard A. Matzner, Dictionary of geophysics, astrophysics, and astronomy [« Dictionnaire de géographie, d'astrophysique, et d'astronomie »], Boca Raton, CRC, coll. « Comprehensive dictionary of physics », mai 2001 (réimpr. juin 2020), 526 p., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-0-8493-2891-6 et 978-0-3674-5527-9, EAN 9780849328916, OCLC 46472212, BNF 41362362, DOI 10.1201/9781420050233, Bibcode 2001dgaa.book.....M, S2CID 118397876, SUDOC 059267828, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Rahaman 2021] (en) Farook Rahaman, The general theory of relativity : a mathematical approach [« La théorie générale de la relativité : une approche mathématique »], Cambridge, CUP, hors coll., septembre 2021, 1^re éd., XXII-404 p., 18,7 × 24,7 cm (ISBN 978-1-108-83799-6, EAN 9781108837996, OCLC 1365637524, DOI 10.1017/9781108837996, Bibcode 2021gtrm.book.....R, SUDOC 267319665, présentation en ligne, lire en ligne). 
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• [Schwarzschild 1916] (de) Karl Schwarzschild, « Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie » [« Sur le champ gravitationnel d'une sphère de fluide incompressible selon la théorie d'Einstein »], Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Phys.-Math. Klasse,‎ 23 mars 1916, p. 424-434 (OCLC 1181956496, Bibcode 1916skpa.conf..424S, S2CID 124023359, lire sur Wikisource, lire en ligne [PDF]).
• [Weinstein 2015] (en) Galina Weinstein, General relativity conflict and rivalries : Einstein's polemics with physicists [« Conflit et rivalités de relativité générale : les polémiques d'Einstein avec des physiciens »], Newcastle upon Tyne, CSP, hors coll., décembre 2015, 1^re éd., XVI-421 p., 15 × 21 cm (ISBN 978-1-4438-8362-7, EAN 9781443883627, OCLC 936302001, présentation en ligne, lire en ligne). 

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