Métrique (physique)

En relativité restreinte et en relativité générale, une métrique est un invariant relativiste infinitésimal ayant la dimension d'une longueur. Mathématiquement, il s'agit d'un tenseur métrique relatif à la variété différentielle représentant l'espace-temps physique. En relativité générale, une métrique dans un référentiel contient toutes les informations sur la gravitation telle qu'elle y est perçue.

Une métrique d'espace-temps[1],[2],[3] — ou, simplement, une métrique[4] — est une métrique lorentzienne[5],[6] c.-à-d. une métrique pseudo-riemannienne dont la signature est [N 1]. Elle s'exprime sous la forme d'une somme algébrique de carrés de formes différentielles linéaires[7]. Le nombre n est égal à celui des composantes covariantes non nulles du tenseur métrique [8].

Une métrique est l'expression, en coordonnées locales, de la forme quadratique associée à la forme bilinéaire, symétrique et non dégénérée, qu'est le tenseur métrique[9].

En relativité générale, une métrique est une solution de l'équation d'Einstein[10],[11].

En relativité générale, la métrique est reliée au tenseur métrique par[12] :

,

avec[12] :

La notation est due à Gauss[13],[14].

Notes et références

Notes

  1. ↑ Une autre convention de signature peut être choisie, notamment ainsi que ou .

Références

  1. ↑ Lachièze-Rey 2013, chap. 2, sec. 2.1, § 2.1.6, p. 36.
  2. ↑ Léon 2019, chap. 3, sec. 2, p. 122 ; chap. 3, sec. 4, p. 147 ; chap. 4, sec. 4, p. 237 ; et chap. 8, sec. 2, p. 288.
  3. ↑ Paty 1993, p. 184.
  4. ↑ Trilles et Spagnou 2020, gloss., s.v. métrique, p. 405.
  5. ↑ Liang 2023, chap. 2, sec. 2.5, déf. 3, p. 47.
  6. ↑ Markoutsakis 2021, VIIe partie, chap. A, sec. A.2, p. 402.
  7. ↑ Lichnerowicz 1950, p. 102.
  8. ↑ Gialis et Désert 2015, chap. 4, sec. 4.2, p. 112.
  9. ↑ Choquet-Bruhat 1968, chap. III, p. 89.
  10. ↑ Carroll 2019, chap. 4, sec. 4.4, p. 165.
  11. ↑ Rahaman 2021, appendice A, n. A2, p. 381.
  12. 1 2 Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, chap. 1er, sec. 1.4, p. 11.
  13. ↑ Visconti 1992, chap. II, sec. B, § 8, p. 93.
  14. ↑ Gauss 1852.

Voir aussi

Bibliographie

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