Métrique de Vaidya

En relativité générale, la métrique de Vaidya est une solution exacte et explicite de l'équation d'Einstein en l'absence de constante cosmologique ${\displaystyle (\Lambda =0)}$^[1]. Elle décrit un objet à symétrie sphérique qui émet (resp. absorbe) de la poussière, de sorte que sa masse décroît (resp. s'accroît) au cours du temps^[2]. Elle représente la plus simple généralisation dynamique (c.-à-d. non statique) de la métrique de Schwarzschild^[2]. Son éponyme est le physicien et mathématicien indien Prahalad Chunnilal Vaidya (en) (1918-2010)^[2] que l'a présentée en 1951^[3].

L'espace-temps de Vaidya a quatre dimensions^[4]. Il n'est pas vide mais est empli de poussière isotrope^[5].

Dans le cas d'une émission, la métrique est dite sortante^[6] et s'écrit^[7],[8],[9] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left[1-{\frac {2Gm(u)}{c^{2}r}}\right]c^{2}\mathrm {d} u^{2}-2c\mathrm {d} u\mathrm {d} r+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$

et, dans le cas d'une absorption, elle est dite entrante^[10] et s'écrit^{[7],[11],[12]} :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left[1-{\frac {2Gm(v)}{c^{2}r}}\right]c^{2}\mathrm {d} v^{2}+2c\mathrm {d} v\mathrm {d} r+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$,

où :

• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide^[13] ;
• ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle^[13] ;
• ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}}$ est la métrique d'une sphère unité^[13],[14] : ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}}$ ;
• ${\displaystyle \theta }$ est la colatitude^[15] : ${\displaystyle \theta \in (0,\pi )}$ ;
• ${\displaystyle \phi }$ est la longitude^[15] : ${\displaystyle \phi \in (0,2\pi )}$ ;
• ${\displaystyle r}$ est le rayon aréolaire^[14],[16] : ${\displaystyle A=2\pi r^{2}}$, avec^[17],[15] ${\displaystyle r\in (0,+\infty )}$ ;
• ${\displaystyle m(u)}$ (resp. ${\displaystyle m(v)}$) est une fonction arbitraire de la coordonnée ${\displaystyle u}$ (resp. ${\displaystyle v}$)^[14] ;
• ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ sont deux coordonnées de genre lumière^[18] avec^[17] ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ et ^[15] ${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$ ;
• ${\displaystyle cu}$ et ${\displaystyle cv}$ sont deux coordonnées de genre temps, à savoir :
  • ${\displaystyle cu}$ est le temps retardé^[19],[20] ;
  • ${\displaystyle cv}$ est le temps avancé^[19],[10].

Les deux expressions de la métrique peuvent être réunies comme suit^[21] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left[1-{\frac {2Gm(z)}{c^{2}r}}\right]c^{2}\mathrm {d} z^{2}+2c\mathrm {d} z\mathrm {d} r-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$,

avec^[22] ${\displaystyle z={\begin{cases}u,&{\text{dans le cas d'une émission}}\\-v,&{\text{dans le cas d'une absorption}}.\end{cases}}}$

Avec ${\displaystyle m={\text{cste}}}$, la métrique de Vaidya se réduit à celle de Schwarzschild^[23] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}c^{2}\mathrm {d} u\mathrm {d} v+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$,

où :

• ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }={\frac {2Gm}{c^{2}}}}$ est le rayon de Schwarzschild ;
• ${\displaystyle r}$ est défini par la relation^[24] : ${\displaystyle r+R_{\mathrm {S} }\ln \left({\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}-1\right)={\frac {1}{2}}\left(v-u\right)}$.

La poussière isotrope est un fluide^[6],[10] :

• sans pression^[6],[10] : ${\displaystyle p=0}$ ;
• dont la densité d'énergie est : ${\displaystyle \rho =\pm {\frac {\dot {m}}{4\pi r^{2}}}}$, avec^[6],[10] ${\displaystyle \pm {\dot {m}}={\begin{cases}-\displaystyle {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} u}},&{\text{dans le cas d'une émission}}\\+\displaystyle {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} v}},&{\text{dans le cas d'une absorption$ ;}}\end{cases}}}
• dont la quadrivitesse est ${\displaystyle l^{\alpha }}$, avec^[6],[10] ${\displaystyle l_{\alpha }={\begin{cases}-\partial _{\alpha }u,&{\text{dans le cas d'une émission}}\\-\partial _{\alpha }v,&{\text{dans le cas d'une absorption.}}\end{cases}}}$

La métrique de Vaidya connaît un certain nombre d'applications astrophysiques et théoriques. Par exemple, elle est utilisée pour décrire l'émission de rayonnements par des objets astrophysiques^[22],[25]. Elle est aussi prise en compte dans les études sur l'effondrement gravitationnel^{[22],[25],[26]} à symétrique sphérique^[27], la formation et l'évolution des horizons des trous noirs^[26] ainsi que la formation de singularités nues^[22],[27] ou encore les modes quasi-normaux des trous noirs^[27]. Elle est utilisée comme modèle-jouet^[26] de l'évaporation des trous noirs^[22],[25] par rayonnement de Hawking^[27]. Elle est encore utilisée en théorie des cordes^[26] et en holographie^[26].

La métrique de Vaidya^[28] est ainsi désignée à la suite de Richard W. Lindquist, Robert A. Schwartz et Charles W. Misner (1932-2023)^{[29],[30],[31]}. Son éponyme est le physicien et mathématicien indien Prahalad Chunnilal Vaidya (1918-2010)^[32]. Il l'a présentée pour la première fois en 1943^[33],[34] comme solution de l'équation d'Einstein sans constante cosmologique ${\displaystyle (\Lambda =0)}$^[34] pour l'extérieur d'une étoile rayonnant un champ pouvant s'interpréter, à la limite newtonienne, comme la luminosité de l'étoile^[33].

Pour Éric Gourgoulhon, la métrique de Vaidya sortante a été en fait dérivée pour la première fois par Henri Mineur (1899-1954) en 1933^[35],[36] comme solution de l'équation d'Einstein pour le « champ de gravitation » extérieur d'un « corps central » à symétrie sphérique dont la masse varie en raison du rayonnement d'un « flux énergétique lumineuse »^[32].

En 1943^{[37],[38],[39]} et 1951^{[37],[40],[41]}, Vaidya présente la métrique pour l'extérieur d'une étoile à symétrie sphérique et rayonnante^[42].

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