Méthode d'Einstein-Brillouin-Keller

L'hamiltonien d'un oscillateur harmonique est donné par

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}$

où ${\displaystyle p}$ est la quantité de mouvement linéaire et ${\displaystyle x}$ la coordonnée de position. La variable d'action est donnée par

${\displaystyle I={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {2mE-m^{2}\omega ^{2}x^{2}}}\mathrm {d} x}$

où ${\displaystyle H=E}$ l'énergie est et la trajectoire fermée est 4 fois plus longue que la trajectoire de 0 au point de retournement ${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2E/m\omega ^{2}}}}$.

L'intégrale s'avère être proportionnelle à l'énergie E

${\displaystyle E=I\omega }$,

qui, sous la quantification EBK, possède deux points de retournement dans chaque orbite notés ${\displaystyle \mu _{x}=2}$ et ${\displaystyle b_{x}=0}$. Finalement, cela donne

${\displaystyle E=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$,

ce qui correspond exactement aux niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique quantique.

L'hamiltonien d'un électron non relativiste de charge électrique ${\displaystyle e}$ dans un atome d'hydrogène est :

${\displaystyle H={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

où ${\displaystyle p_{r}}$ est l'impulsion canonique de la distance radiale ${\displaystyle r}$, et ${\displaystyle p_{\varphi }}$ est le moment canonique de l'angle azimutal ${\displaystyle \varphi }$. Si on prend les coordonnées action-angle pour la partie angulaire

${\displaystyle I_{\varphi }={\text{constant}}=|L|}$

et pour la partie radiale ${\displaystyle r}$

${\displaystyle p_{r}={\sqrt {2mE-{\frac {L^{2}}{r^{2}}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}}}$

${\displaystyle I_{r}={\frac {1}{\pi }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}p_{r}dr={\frac {me^{2}}{4\pi \epsilon _{0}{\sqrt {-2mE}}}}-|L|}$

nous intégrons les deux points de retournement classiques ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ( ${\displaystyle \mu _{r}=2}$ ) et calculons l'énergie totale

${\displaystyle E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}(I_{r}+I_{\varphi })^{2}}}}$

En utilisant la quantification EBK ${\displaystyle b_{r}=\mu _{\varphi }=b_{\varphi }=0,n_{\varphi }=m}$ :

${\displaystyle I_{\varphi }=\hbar m\quad$ ;\quad m=0,1,2,\cdots }

${\displaystyle I_{r}=\hbar (n_{r}+1/2)\quad$ ;\quad n_{r}=0,1,2,\cdots }

${\displaystyle E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}(n_{r}+m+1/2)^{2}}}}$

et en prenant ${\displaystyle n=n_{r}+m+1}$, le spectre de l'atome d'hydrogène 2D ^[12] est retrouvé :

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}(n-1/2)^{2}}}\quad$ ;\quad n=1,2,3,\cdots }

Notons que dans ce cas ${\displaystyle I_{\varphi }=|L|}$ coïncide presque avec la quantification usuelle de l'opérateur de moment angulaire sur le plan ${\displaystyle L_{z}}$

Dans le cas 3D, la méthode EBK pour le moment angulaire total est équivalente à la correction de Langer^[13]. Cette méthode alternative en approximation WKB calcule les énergies des systèmes quantiques confinés dans une boîte sphérique rigide, en décomposant perturbativement le terme centrifuge selon l'approche de Hainz et Grabert^[14]. Elle étend ce formalisme à trois potentiels radiaux (oscillateur harmonique 3D, hydrogène, Hulthén) sous confinement à parois dures pour en tester la validité.