Diagramme de Penrose-Carter

Diagramme de Penrose d'un espace de Minkowski infini.
Deux dimensions d'espace ont été éliminées et la dimension (spatiale) infinie est représentée sur un segment (fini) horizontal. L'axe temporel est vertical.

Un diagramme de Penrose-Carter est un diagramme bidimensionnel utilisé, en relativité générale, pour faciliter l'étude des propriétés causales d'un espace-temps^[1].

Ils sont une façon de représenter plusieurs métriques spatio-temporelles (solutions de l'équation d'Einstein) en supprimant systématiquement deux dimensions d'espace : la figure résultante est donc plane, représentable facilement dans le plan euclidien (c'est-à-dire une banale feuille de papier).

Histoire

Les diagrammes de Penrose-Carter^[1]^,^[2]^,^[3] sont ainsi désignés en l'honneur de Roger Penrose et de Brandon Carter qui les ont introduits indépendamment^[1] dans les années 1960.

D'après Penrose^[4], celui-ci en fit usage, pour la première fois, lors d'une conférence à Varsovie en juillet 1962^[5] mais c'est Carter qui introduisit la notion de « diagrammes conformes stricts » en 1966^[6]^,^[7].

Les diagrammes de Penrose-Carter sont aussi connus comme :

les diagrammes conformes car ils sont obtenus au moyen d'une transformation conforme^[8] ;
les diagrammes causaux^[9]^,^[10].

Présentation

Sur un diagramme de Penrose-Carter^[1] :

toute ligne horizontale est du genre espace,
toute ligne verticale est du genre temps,
la lumière se déplace sur des droites inclinées à 45°.

Un diagramme de Penrose-Carter représente cinq^[11] infinis, dits infinis conformes^[12]. Ils y sont notés par la lettre i — initiale de l'anglais infinity (« infini ») — suivie, en exposant, de 0, + ou –, correspondant respectivement au zéro, au signe plus et au signe moins^[1]^,^[12]. Trois des cinq infinis conformes sont des points^[11] dont le symbole est le i minuscule^[1] ; les deux autres sont des segments de droite^[11] dont le symbole est la capitale I en police scripte, dit scri^[1]. Les exposants + et – dénotent respectivement le futur et le passé^[1].

le point $i^{0}$ est l'infini du genre espace^[12], ou infini spatial^[1],
le point $i^{+}$ est l'infini futur du genre temps^[12], ou infini temporel futur^[1],
le point $i^{-}$ est l'infini passé du genre temps^[12], ou infini temporel passé^[1],
${\mathcal {I}}^{+}$ est l'infini futur du genre lumière^[1]^,^[12],
${\mathcal {I}}^{-}$ est l'infini passé du genre lumière^[1]^,^[12].

Mathématiquement, le diagramme de Penrose-Carter de l'espace-temps $(M,g)$ représente la variété à bord $({\tilde {M}},{\tilde {g}})$ dont l'intérieur est difféomorphe à $(M,g)$ ^[13]. Le bord de $({\tilde {M}},{\tilde {g}})$ est une hypersurface régulière dont le caractère causal dépend de la constante cosmologique $(\Lambda )$ ^[13]. La métrique ${\tilde {g}}$ de $({\tilde {M}},{\tilde {g}})$ est reliée à la métrique $g$ de $(M,g)$ par $g=\Omega {\tilde {g}}$ , où $\Omega$ est le facteur conforme^[13]. Celui-ci s'annule sur le bord de $({\tilde {M}},{\tilde {g}})$ ^[13]. La structure de ce bord est uniquement déterminée par $(M,g)$ ^[13].

Construction : exemple de l'espace-temps de Minkowski

L'espace-temps de Minkowski est l'espace-temps plat de la relativité restreinte^[14]. Sa métrique homonyme est la plus simple des solutions de l'équation d'Einstein pour le vide et en l'absence de constante cosmologique^[14]. En coordonnées standards, avec $c=1$ et une signature $(-,+,+,+)$ , son expression est^[15]^,^[16] :

\mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}

,

où $t$ est le temps-coordonnée et où $x,y,z$ sont les coordonnées cartésiennes usuelles^[14].

Le diagramme de l'espace-temps de Minkowski s'obtient en suivant les étapes suivantes.

Première étape

La première étape consiste à exprimer la métrique en coordonnées sphériques usuelles^[14]. On définit $r$ ^[17] :

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}

et les coordonnées sphériques associées $(r,\theta ,\phi )$ , reliées aux coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ par^[18]^,^[19] :

{\begin{cases}x&=r\sin \phi \cos \theta \\y&=r\sin \phi \sin \theta \\z&=r\cos \phi \end{cases}}

où :

$r$ est le rayon-coordonnée ;
$\theta$ est la longitude ;
$\phi$ est la colatitude.

En coordonnées $(t,r,\theta ,\phi )$ , la métrique s'écrit^[20]^,^[21] :

\mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \phi ^{2}\right)

.

La première étape permet d'obtenir une métrique comportant une partie angulaire $\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \phi ^{2}\right)$ qui est la métrique d'une sphère unité usuelle, c'est-à-dire d'une 2-sphère $\left(\mathbb {S} ^{2}\right)$ de rayon 1 dans l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{3}$ ^[22].

Deuxième étape

La deuxième étape consiste à effectuer un changement de coordonnées afin de remplacer $t$ et $r$ par deux coordonnées de genre lumière^[23]. On pose^[24] :

v=t+r

et

w=t-r

,

où $v$ et $w$ sont respectivement la coordonnée avancée et la coordonnée retardée^[25]. En coordonnées $(v,w,\theta ,\phi )$ , la métrique s'écrit^[26]^,^[27] :

\mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} v\mathrm {d} w+{\frac {1}{4}}\left(v-w\right)^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \phi ^{2}\right)

.

Les coordonnées $(v,w)$ sont dites coordonnées du cône de lumière^[22].

Troisième étape

La troisième étape consiste à compacifier la métrique en effectuant un nouveau changement de coordonnées. On pose^[26] :

\tan {p}=v

et

\tan {q}=w

, avec

p\geq {q}

.

En coordonnées $(p,q,\theta ,\phi )$ , la métrique s'écrit^[26]^,^[28] :

\mathrm {d} s^{2}={\frac {1}{\cos ^{2}p\cos ^{2}q}}\left[-\mathrm {d} p\mathrm {d} q+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left(p-q\right)\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \phi ^{2}\right)\right]

.

Quatrième étape

La quatrième et dernière étape consiste à effectuer un changement de coordonnées afin de remplacer $p$ et $q$ par des coordonnées standards. On pose^[26] :

T=p+q

et

R=p-q

.

En coordonnées $(T,R,\theta ,\phi )$ , la métrique s'écrit^[26] :

\mathrm {d} s^{2}={\frac {-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} R^{2}+R^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \phi ^{2}\right)}{4\cos ^{2}\left[{\frac {1}{2}}\left(T+R\right)\right]\cos ^{2}\left[{\frac {1}{2}}\left(T-R\right)\right]}}

.

Elle peut être exprimée sous la forme^[29] :

\mathrm {d} s^{2}=\Omega ^{-2}\mathrm {d} {\bar {s}}^{2}\Longleftrightarrow \mathrm {d} {\bar {s}}^{2}=\Omega ^{2}\mathrm {d} s^{2}

,

où^[30] :

$\Omega$ est le facteur conforme ;
$\mathrm {d} {\bar {s}}^{2}$ est la métrique conforme (ou conformément reliée) à $\mathrm {d} s^{2}$ .

Dans le cas de la métrique de Minkowski, $\Omega$ est donné par^[31]^,^[32] :

{\begin{aligned}\Omega &=\cos {T}+\cos {R}\\&=2\cos {p}\cos {q}\\&={\frac {2}{{\sqrt {v^{2}+1}}{\sqrt {w^{2}+1}}}}\\&={\frac {2}{{\sqrt {p(t-r)^{2}+1}}{\sqrt {p(t+r)^{2}+1}}}}\end{aligned}}

et $\mathrm {d} {\bar {s}}^{2}$ est donnée par^[26]^,^[33] :

\mathrm {d} {\bar {s}}^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} R^{2}+R^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \phi ^{2}\right)

.

On trace le diagramme en utilisant celle-ci.

Cas de l'espace de Schwarzschild

Diagramme de Penrose d'un espace de Schwarzschild.

La figure à gauche montre la représentation d'un espace de Schwarzschild correspondant à un trou noir statique (pas de rotation, ni de charge). La coordonnée verticale nommée « u » est temporelle, alors que la coordonnée horizontale « v » est spatiale. Le diagramme de Penrose est conforme, c'est-à-dire que les géodésiques de genre nul (lignes de lumière) correspondent aux demi-première et deuxième bissectrices « hautes ».

Dans ce système de coordonnées, dérivé de celui de Kruskal, nous avons :

ds^{2}={\frac {32M^{3}}{r}}{\frac {e^{-{\frac {r}{2M}}}(-du^{2}+dv^{2})}{4\cos ^{2}{\frac {1}{2}}(u+v)\cos ^{2}{\frac {1}{2}}(u-v)}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})

Le diagramme fait donc abstraction des deux coordonnées sphériques $\theta$ et $\phi$ . Les cônes de lumières délimités par les géodésiques nulles (ds² = 0) correspondent à du² = dv², donc {u = v} ou {u = -v}, c'est-à-dire les premières et deuxièmes bissectrices.

En partant de la gauche, deux droites (première et seconde bissectrices) divergent : la droite du bas, nommée I-, représente « l'infini du passé », là d'où proviennent tous les mobiles qui viennent de l'infiniment lointain ; la droite du haut, I+, correspond à « l'infini de l'avenir », et représente le lieu vers où se dirigent tous les mobiles qui s'éloignent à jamais du trou noir. Les deux droites horizontales et parallèles représentent la singularité (dans le passé et dans l'avenir), située en r = 0. Le diagramme est symétrique par rapport à la verticale. En pointillés, on a représenté l'horizon du trou noir, situé (en unités convenables) à r = 2M.

On peut donc distinguer quatre régions, suivant leur couleur :

Les zones de fond blanc correspondent à notre espace-temps, celles de fond marron à un espace-temps « miroir » ;
Les zones de fond clair sont dans l'espace « classique », les zones grisées à l'intérieur des horizons respectifs des singularités.

La singularité du passé (en bas de la figure) et l'espace « symétrique » situé à droite sont généralement considérés comme des artefacts mathématiques sans réalité physique. Ils sont de toute façon impossibles à atteindre. La singularité du passé se comporte comme un « trou blanc », à savoir une zone de répulsion gravitationnelle infinie : aucun mobile extérieur ne peut l'approcher en deçà de son horizon, et tout ce qui se trouve créé à l'intérieur est expulsé — soit dans notre univers « normal » (à gauche), soit dans l'univers « miroir » (à droite).

Il est loisible d'identifier les « losanges » droite et gauche, ce qui revient à interpréter l'univers « miroir » comme une réplique mathématique de notre univers « normal ». Si l'on identifie en outre les singularités du haut et du bas, on arrive à un modèle physique où un trou noir éternel avale de la matière, rejetée dans un ailleurs spatio-temporel sous la forme de trou blanc.

Étude cinématique dans le diagramme de Penrose

En vert, on a représenté la trajectoire d'un mobile qui reste à distance du trou noir. Il émerge de I-, reste constamment dans son cône de lumière matérialisé par le « V » en pointillés (l'ensemble de ses vitesses permises, c'est-à-dire telles que |v| < c), puis atteint l'infini de l'avenir.

En rouge, on a représenté la trajectoire d'un mobile qui arrive de l'infini, se rapproche du trou noir puis dépasse l'horizon. On voit aisément qu'une fois au-delà de la droite r = 2M, en raison de la forme des cônes de lumière, quelle que soit la vitesse ultérieure du mobile, il ne peut que finir sur la singularité matérialisée par la droite du haut.

Notes et références

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Taillet et al. 2013, s.v. diagramme de Penrose-Carter, p. 191.
↑ Barrau et Grain 2016, p. 184.
↑ Smerlak 2016.
↑ Penrose 2007, p. 710, n. 38.
↑ Penrose 1964.
↑ Carter 1966a.
↑ Carter 1966b.
↑ Griffiths et Podolský 2009, chap. 2, sec. 2.3, § 2.3.3, p. 26.
↑ Andersson, Bäckdahl et Blue 2018, sec. 2.2, § 2.2.1, p. 14.
↑ Grumiller et Sheikh-Jabbari 2022, p. 46.
1 2 3 Lancaster et Blundell 2025, sec. 19.1, p. 204.
1 2 3 4 5 6 7 Leygnac 2004, p. 15.
1 2 3 4 5 Frauendiener 2004, p. 13.
1 2 3 4 Szeftel, sec. 6.1, § 6.1.1, p. 65.
↑ Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, introd., p. 92 (4.1).
↑ Griffiths et Podolský 2009, chap. 3, sec. 3.1, p. 27 (3.1).
↑ Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, sec. 4.2.1, p. 92 (4.1).
↑ Griffiths et Podolský 2009, chap. 3, sec. 3.1, p. 27.
↑ Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, sec. 4.2.1, p. 92 (4.2).
↑ Griffiths et Podolský 2009, chap. 3, sec. 3.1, p. 28 (3.2).
↑ Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, introd., p. 92 (4.3).
1 2 Lancaster et Blundell 2025, sec. 19.1, ex. 19.3, p. 206.
↑ Szeftel, sec. 6.1, § 6.1.2, p. 65-66.
↑ Szeftel, sec. 6.1, § 6.1.2, p. 65.
↑ Szeftel, sec. 6.1, § 6.1.2, rem. 6.2, p. 66.
1 2 3 4 5 6 Szeftel, sec. 6.1, § 6.1.2, p. 66.
↑ Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.1, p. 93 (4.5).
↑ Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.1, p. 93 (4.8).
↑ Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.2, p. 94 (4.9).
↑ Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.2, p. 94.
↑ Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.2, p. 94 (4.10a), (4.10b) et (4.10c).
↑ Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.2, p. 95 (4.17).
↑ Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.3, p. 98 (4.18).

Voir aussi

Bibliographie

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Articles connexes

Liens externes

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[Szeftel] Jérémie Szeftel, Introduction à la relativité générale : d'un point de vue mathématique (notes de cours), Paris, LJLL, 2013-2015, 91 p., 21 × 29,7 cm (lire en ligne [PDF]), chap. 6 (« Exemples de solutions explicites » de l'équation d'Einstein), p. 65-73.
(en) Penrose-Carter diagram (diagramme de Penrose-Carter) sur l'Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics de l'Observatoire de Paris.

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[Carter_1966aCarter_1966a-6] Carter 1966a.

[Carter_1966bCarter_1966b-7] Carter 1966b.

[GriffithsPodolský200926<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2.3,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.3.3</span>-8] Griffiths et Podolský 2009, chap. 2, sec. 2.3, § 2.3.3, p. 26.

[AnderssonBäckdahlBlue201814<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.2.1</span>-9] Andersson, Bäckdahl et Blue 2018, sec. 2.2, § 2.2.1, p. 14.

[GrumillerSheikh-Jabbari202246-10] Grumiller et Sheikh-Jabbari 2022, p. 46.

[LancasterBlundell2025204<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;19.1-11] 1 2 3 Lancaster et Blundell 2025, sec. 19.1, p. 204.

[Leygnac200415-12] 1 2 3 4 5 6 7 Leygnac 2004, p. 15.

[Frauendiener200413-13] 1 2 3 4 5 Frauendiener 2004, p. 13.

[SzeftelSzeftel65<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;6.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.1.1</span>-14] 1 2 3 4 Szeftel, sec. 6.1, § 6.1.1, p. 65.

[Gourgoulhon202592_(4.1)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2,_<abbr_class="abbr_"_title="introduction"_>introd.</abbr>-15] Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, introd., p. 92 (4.1).

[GriffithsPodolský200927_(3.1)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;3</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;3.1-16] Griffiths et Podolský 2009, chap. 3, sec. 3.1, p. 27 (3.1).

[Gourgoulhon202592_(4.1)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2.1-17] Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, sec. 4.2.1, p. 92 (4.1).

[GriffithsPodolský200927<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;3</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;3.1-18] Griffiths et Podolský 2009, chap. 3, sec. 3.1, p. 27.

[Gourgoulhon202592_(4.2)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2.1-19] Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, sec. 4.2.1, p. 92 (4.2).

[GriffithsPodolský200928_(3.2)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;3</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;3.1-20] Griffiths et Podolský 2009, chap. 3, sec. 3.1, p. 28 (3.2).

[Gourgoulhon202592_(4.3)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2,_<abbr_class="abbr_"_title="introduction"_>introd.</abbr>-21] Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, introd., p. 92 (4.3).

[LancasterBlundell2025206<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;19.1,_ex._19.3-22] 1 2 Lancaster et Blundell 2025, sec. 19.1, ex. 19.3, p. 206.

[SzeftelSzeftel65-66<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;6.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.1.2</span>-23] Szeftel, sec. 6.1, § 6.1.2, p. 65-66.

[SzeftelSzeftel65<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;6.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.1.2</span>-24] Szeftel, sec. 6.1, § 6.1.2, p. 65.

[SzeftelSzeftel66<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;6.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.1.2</span>,_rem._6.2-25] Szeftel, sec. 6.1, § 6.1.2, rem. 6.2, p. 66.

[SzeftelSzeftel66<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;6.1,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.1.2</span>-26] 1 2 3 4 5 6 Szeftel, sec. 6.1, § 6.1.2, p. 66.

[Gourgoulhon202593_(4.5)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.2.1</span>-27] Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.1, p. 93 (4.5).

[Gourgoulhon202593_(4.8)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.2.1</span>-28] Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.1, p. 93 (4.8).

[Gourgoulhon202594_(4.9)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.2.2</span>-29] Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.2, p. 94 (4.9).

[Gourgoulhon202594<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.2.2</span>-30] Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.2, p. 94.

[Gourgoulhon202594_(4.10a),_(4.10b)_et_(4.10c)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.2.2</span>-31] Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.2, p. 94 (4.10a), (4.10b) et (4.10c).

[Gourgoulhon202595_(4.17)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.2.2</span>-32] Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.2, p. 95 (4.17).

[Gourgoulhon202598_(4.18)<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;4.2.3</span>-33] Gourgoulhon 2025, chap. 4, sec. 4.2, § 4.2.3, p. 98 (4.18).

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