Théorie du contrôle

Contrôle classique

L'approche classique du contrôle s'appuie essentiellement sur les fonctions de transfert qui décrivent des systèmes linéaires temps-invariant (LTI) dans le domaine fréquentiel. Le contrôle classique est généralement la partie du contrôle enseignée en premier dans les cursus d'ingénierie. Ses résultats fondateurs remontent à la première moitié du XXᵉ siècle, dans le sillage des besoins en télécommunications et en asservissements industriels^[22]. Le contrôleur est typiquement de type PID, et est évalué à travers des critères tels que la marge de gain, la marge de phase, le temps de réponse, le dépassement et l'erreur statique. L'analyse mobilise des outils graphiques : diagramme de Bode, diagramme de Black, lieu de Nyquist, lieu des racines (root locus), ainsi que des critères algébriques comme celui de Routh-Hurwitz pour la stabilité.

Contrôle moderne

Le contrôle moderne est un terme parapluie qui regroupe les approches du contrôle fondées sur la représentation d’état. Il est généralement abordé après les bases du contrôle classique dans les cursus d'ingénierie. Ses résultats fondateurs datent des années 1960 et ont été motivés par les programmes spatiaux et l'essor du calcul numérique^[23],[24]. Plus spécifiquement, il désigne le formalisme dans lequel les systèmes linéaires temps-invariant (LTI) sont décrits par un quadruplet de matrices ${\displaystyle (A,B,C,D)}$. Ce formalisme permet de traiter naturellement les systèmes multivariables (MIMO) et s'accompagne de notions comme la commandabilité (ou contrôlabilité) et l'observabilité. La synthèse du contrôleur s'appuie alors sur des techniques telles que le placement de pôles, la commande linéaire quadratique (LQR), ou encore le filtre de Kalman pour l'estimation d'état en présence de bruit, leur combinaison donnant le contrôleur LQG.

Systèmes dynamiques entrées-sorties

On se place dans un ensemble, l'espace d'état ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ d'un système (avec généralement ${\displaystyle {\mathcal {X}}\subseteq \mathbb {R} ^{n_{x}}}$), où chaque point représente un état particulier du système, et sur lequel on définit une dynamique, c'est-à-dire une loi mathématiques qui, depuis n'importe quel état initial ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {X}}}$, fournit une trajectoire ${\displaystyle (x(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ appartenant à l'espace d'état ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$. Lorsque ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ est plongé dans un espace de dimension finie, les coordonnées de ${\displaystyle x}$ sont appelées variables d'état.

La trajectoire ${\displaystyle (x(t))_{t\in \mathbb {T} }}$ est fonction de l'état initial ${\displaystyle x_{0}}$, du temps ${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$, et dépendante des valeurs de paramètres d'entrée :

• Le paramètre de contrôle, noté ${\displaystyle u}$, appelé également paramètre de commande, et qui prend ses valeurs à chaque instant dans un espace des contrôles ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ (avec généralement ${\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq \mathbb {R} ^{n_{u}}}$). En pratique, le paramètre de contrôle correspond généralement aux signaux appliqués au système par le biais d'actionneurs.
• Le paramètre d'entrée exogène, noté ${\displaystyle w}$, appelé également paramètre de perturbation, et qui prend ses valeurs à chaque instant dans ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ (avec généralement ${\displaystyle {\mathcal {W}}\subseteq \mathbb {R} ^{n_{w}}}$). Contrairement à l'entrée ${\displaystyle u}$ sur laquelle on peut agir, l'entrée ${\displaystyle w}$ est subie par le système. Elle correspond aux perturbations et aux consignes du système, et elle n'est pas toujours considérée explicitement.

Si le déroulement du temps est modélisé par un entier positif (${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {N} }$), le système est alors dit temps-discret (le temps ne prend que des valeurs entières). L'état du système ${\displaystyle x}$ ne dépend généralement que de l'état du système et des paramètres d'entrée à l'instant précédent. La dynamique du système est alors donnée par une suite définie par l'intermédiaire d'une fonction ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\times {\mathcal {U}}\times {\mathcal {W}}\times \mathbb {T} \mapsto {\mathcal {X}}}$ ; elle s'écrit :

Si le déroulement du temps est modélisé par un réel positif (${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} _{\geq 0}}$), le système est alors dit temps-continu (le temps s'écoule continument). Dans ce cas, la dynamique du système est généralement donnée par une équation différentielle ordinaire ; elle s'écrit :

Dans ce contexte ${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$ est la dérivée temporelle de ${\displaystyle x}$ à l'instant ${\displaystyle t}$, et il peut alors être nécessaire de vérifier l'existence et l'unicité de la trajectoire ${\displaystyle (x(t))_{t\in \mathbb {T} }}$.

En pratique, on ne s'intéresse pas systématiquement à l'évolution de toutes les variables d'état, mais parfois uniquement à certaines quantités dites de sortie. Ces quantités d'intérêt, notées ${\displaystyle y}$, sont à valeur dans un espace des sorties ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ (avec généralement ${\displaystyle {\mathcal {Y}}\subseteq \mathbb {R} ^{n_{y}}}$). Elles sont définies par l'intermédiaire d'une fonction ${\displaystyle h:{\mathcal {X}}\times {\mathcal {U}}\times {\mathcal {W}}\times \mathbb {T} \mapsto {\mathcal {Y}}}$ :

Il est quelques fois nécessaire de distinguer les sorties mesurées ${\displaystyle y_{m}}$ des sorties contrôlées ${\displaystyle y_{c}}$^[25] :

• Les sorties mesurées ${\displaystyle y_{m}}$ sont des quantités supposées connues en temps-réel, et qui peuvent notamment être utilisées pour synthétiser une commande ${\displaystyle u}$. En pratique, il s'agit généralement de données mesurées au sein du système par le biais de capteurs.
• Les sorties contrôlées ${\displaystyle y_{c}}$ sont les quantités dont on souhaite manipuler l'évolution par le biais de la commande ${\displaystyle u}$.

Ces deux types de sorties ne sont pas systématiquement confondus. On peut tout à fait vouloir contrôler une quantité qu'on sait mesurer (sortie contrôlée et mesurée) ou qu'on ne sait pas mesurer (sortie contrôlée et non mesurée). On peut également mesurer une quantité dont on ne cherche pas particulièrement à contrôler l'évolution (sortie mesurée et non contrôlée).

Cas général

En toute généralité, la théorie du contrôle s'intéresse donc aux systèmes dynamiques de la forme :

avec ${\displaystyle x}$ l'état interne du système, ${\displaystyle u}$ sa commande et ${\displaystyle w}$ ses autres entrées exogènes, ${\displaystyle y_{c}}$ sa sortie contrôlée et ${\displaystyle y_{m}}$ sa sortie mesurée. Ici, ${\displaystyle \delta x(t)}$ dénote ${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$ ou ${\displaystyle x(t+1)}$ suivant le contexte temps-continu ou temps-discret. Les équations ci-dessus forment la représentation d'état du système. Il arrive que la sortie contrôlée ${\displaystyle y_{c}}$ soit remplacée par une variable ${\displaystyle e}$, définie comme l'écart entre ${\displaystyle y_{c}}$ et la consigne ${\displaystyle y_{c}^{*}}$. La consigne ${\displaystyle y_{c}^{*}}$ est alors intégrée aux entrées exogènes ${\displaystyle w}$. Le problème d'asservissement (ou de régulation) revient finalement à stabiliser ${\displaystyle e}$ en ${\displaystyle 0}$, et la deuxième équation de la représentation d'état devient :

Cas linéaire temps-invariant (LTI)

Lorsque les variables du systèmes sont de dimension finie et que les fonctions ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h_{m}}$ introduites plus haut sont temps-invariant et linéaires en ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle w}$ (éventuellement après les avoir linéarisées autour d'un point de fonctionnement), on aboutit au système linéaire temps-invariant (LTI) suivant :

Ce système LTI peut se ré-écrire dans le domaine fréquentiel, par le biais d'une transformation de Laplace dans le cas temps-continu et par le biais d'une transformation en Z dans le cas temps-discret, sous la forme :

avec ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle Y}$ la représentation fréquentielle des signaux ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle e}$ et ${\displaystyle y_{m}}$ respectivement, et les ${\displaystyle P}$ des matrices de transfert données par :

Chaque élément de ces matrices est une fonction de transfert et contient des renseignements sur le comportement fréquentiel du système.

Contrôle en boucle ouverte

En boucle ouverte, la commande est directement synthétisée en fonction du temps ${\displaystyle t}$, de la connaissance des composantes de la consigne ${\displaystyle y_{c}^{*}}$ dans ${\displaystyle w}$, et éventuellement de certaines composantes de perturbations dans ${\displaystyle w}$, lorsque ces dernières sont connues : par avance, ou en temps réel (par mesure directe ou estimation). La connaissance de la condition initiale du système ${\displaystyle x_{0}}$ est également généralement requise. Parmi les techniques de contrôle en boucle ouverte, on peut citer certaines lois de commande obtenues grâce au principe du maximum de Pontriaguine.

Contrôle en boucle fermée

En boucle fermée, le contrôleur reçoit en temps-réel les sorties mesurées ${\displaystyle y_{m}}$ du système (qui font office d'entrées au contrôleur) afin de synthétiser la commande ${\displaystyle u}$ qui sera appliquée au système (et qui fait alors office de sortie mesurée du contrôleur). Cette commande est parfois appelée commande par retour de sortie, ou par retour d'état lorsque ${\displaystyle y_{m}=x}$, c'est-à-dire lorsque tout l'état du système est mesuré.

Lors de la conception de contrôleur en boucle fermée, il est également courant de n'utiliser que l'erreur ${\displaystyle e}$, définie comme l'écart entre la consigne ${\displaystyle y_{c}^{*}}$ et la sortie contrôlée ${\displaystyle y_{c}}$, comme entrée au contrôleur. C'est le cas notamment dans la conception de la majorité des contrôleur PID. L'erreur ${\displaystyle e}$ étant supposée mesurée dans ce cas, cela revient en fait à l'assimiler à la sortie mesurée du système ${\displaystyle y_{m}}$.

Contrôle stochastique

Le contrôle stochastique est présent dès les origines du contrôle : la prise en compte du bruit dans les systèmes dynamiques conduisant naturellement à l'étude des processus stochastiques. Dans le cas d'un processus stochastique, l'état ${\displaystyle X_{t}}$ est à chaque instant une variable aléatoire. La dynamique temps-continu de ${\displaystyle X_{t}}$ est alors donnée par le processus d'Itô suivant, décrit ici sous la forme d'une équation différentielle stochastique (EDS) :

où ${\displaystyle B_{t}}$ représente un mouvement brownien. Le filtre de Kalman et le contrôleur LQG constituent deux résultats fondamentaux du contrôle stochastique.

Contrôle adaptatif

Le contrôle adaptatif est apparu dans les années 1950 afin de répondre aux difficultés de commande des aéronefs à hautes performances, dont la dynamique variait fortement selon les conditions de vol. Il s'agit d'une approche de la théorie du contrôle dans laquelle les paramètres du contrôleur sont ajustés en temps réel afin de s’adapter à des systèmes dont les caractéristiques sont partiellement inconnues ou variables dans le temps. Contrairement aux méthodes classiques reposant sur un contrôleur fixé à l'avance, un contrôleur adaptatif intègre des mécanismes d’estimation ou d’identification en ligne permettant de modifier la loi de commande en fonction du comportement observé du système. L’objectif est ainsi de maintenir des performances satisfaisantes malgré les incertitudes de modélisation ou les perturbations, sans nécessiter une connaissance a priori complète du système.

Contrôle optimal

Développé à partir du calcul des variations puis formalisé dans les années 1950 pour répondre aux besoins de l’aéronautique, de l’astronautique et de l’automatisation industrielle, le contrôle optimal est aujourd’hui considéré comme une branche majeure du contrôle moderne. Le contrôle optimal cherche à déterminer la commande qui minimise un critère de performance. Par exemple, trouver une loi de commande permettant de passer d'une valeur de sortie ${\displaystyle y_{a}}$ à une valeur de sortie ${\displaystyle y_{b}}$ en un temps minimal est appelé un problème de contrôle temps-optimal^[26]. Deux résultats théoriques majeurs permettent de caractériser une loi de commande optimale : le principe du maximum de Pontriaguine et l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Dans le cas d'une représentation d'état linéaire temps-invariant et d'un critère de performance quadratique, l'équation de HJB se réduit à une équation de Riccati qui donne le contrôleur LQR.

Contrôle des équations aux dérivées partielles (EDP)

Le contrôle des équations aux dérivées partielles (EDP) s’est développé à partir des années 1960, lorsque les méthodes du contrôle optimal ont été étendues aux systèmes à dimension infinie, motivées par des applications en mécanique des milieux continus. Si l'espace d'état ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ est un espace fonctionnel, alors à chaque instant, l'état ${\displaystyle x}$ est une fonction d'un paramètre ${\displaystyle s\in \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n_{s}}}$. On notera ${\displaystyle x(t,s)\in \mathbb {R} ^{n_{x}}}$ par simplicité, avec à chaque instant ${\displaystyle x(t,\cdot ):\Omega \mapsto \mathbb {R} ^{n_{x}}}$ un élément de ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$. La fonction ${\displaystyle f}$ de la représentation d'état du cadre classique joue alors le rôle d'un opérateur, et cette représentation d'état devient un système d'équations aux dérivées partielles^[27].

Considérons par exemple l'équation de la chaleur le long d'une barre à une dimension. La distribution de chaleur ${\displaystyle x(t,\cdot )}$ à un instant ${\displaystyle t}$ est fournie sur le segment ${\displaystyle \Omega =[0,L]}$ et est à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (soit ${\displaystyle n_{x}=1}$). La dynamique de cette distribution lorsque l'on contrôle la température aux bords ${\displaystyle \partial \Omega =\{0,L\}}$ est fournie pour tout ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{>0}}$0}}"/> par :

La condition initiale du système est alors donnée par ${\displaystyle x(0,s)=x_{0}(s)}$ pour tout ${\displaystyle s\in [0,L]}$ et la commande s'applique par le biais des contraintes aux bords ${\displaystyle u_{0}}$ et ${\displaystyle u_{L}}$. Étant donné une condition initiale ${\displaystyle x_{0}}$, on peut alors, par exemple, se demander quelles sont les distributions de chaleur ${\displaystyle x(T,\cdot )}$ commandables à un instant ${\displaystyle T}$^[28].

Contrôle prédictif (MPC)

Le contrôle prédictif ou MPC (Model Predictive Control), dont les fondements remontent aux années 1970, repose sur le principe de prédire l’évolution future d’un système afin de mieux le piloter. Adopté dans l'industrie depuis les années 1980, notamment dans la pétrochimie, le MPC s'étend aujourd'hui à des domaines aussi variés que l'automobile, l'aérospatial ou la gestion énergétique, à mesure que la puissance de calcul embarquée le permet. Le MPC repose sur l'idée de résoudre en ligne, à chaque pas de temps, un problème d'optimisation sur un horizon glissant : à partir de l'état courant, on prédit le comportement futur du système à l'aide d'un modèle, on calcule la séquence de commandes minimisant un critère de performance sur un horizon fini, puis on n'applique que la première commande avant de recommencer au pas suivant. Son principal atout est la prise en compte explicite des contraintes sur l'état et la commande.

Contrôle robuste

Né dans les années 1980 des limitations des contrôleur LQG face aux erreurs de modélisation, le contrôle robuste, parfois aussi appelé contrôle post-moderne, par opposition au contrôle moderne, vise à garantir la stabilité et les performances d'un système face à des incertitudes paramétriques et à des perturbations exogènes, en raisonnant typiquement sur le pire cas admissible plutôt que sur un modèle unique^[29]. Les outils centraux sont ceux de la synthèse H-infini (${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$) et de la ${\displaystyle \mu }$-synthèse. Sur le plan algorithmique, les problèmes sont généralement formulés en termes d'inégalités matricielles linéaires (LMI), résolues efficacement par des méthodes de programmation semi-définie positive (SDP).

Contrôle en réseau et distribué

Le contrôle distribué et en réseau s'est développé à partir des années 1970, avant de connaître un essor dans les années 1990 grâce aux avancées en systèmes multi-agents et en technologies de communication permettant de coordonner des systèmes interconnectés complexes (réseaux électriques, flottes robotiques...) tout en respectant les contraintes de décentralisation de l'information. Les réseaux étudiés possèdent des sous-systèmes, et chaque ${\displaystyle i}$-ème sous-système est considéré comme un système entrée-sortie à part entière avec : ses propres entrées ${\displaystyle u_{i}}$, son propre état interne ${\displaystyle x_{i}}$ et ses propres sorties ${\displaystyle y_{i}}$. Lorsque les sous-systèmes du réseau sont de nature identique, on peut supposer qu'ils partagent le même espace d'état ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, le même espace des contrôles ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$, le même espace des sorties ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$, le même modèle de dynamique ${\displaystyle f}$ ainsi que la même fonction de sortie ${\displaystyle h}$. On a alors pour chaque sous-système :

Dans le cadre d'un protocole de contrôle distribué, il est admis que les sous-systèmes du réseau sont contraints de communiquer entre eux par le biais de canaux de communication, généralement modélisés par un graphe orienté ${\displaystyle G=(V,E)}$, alors appelé graphe de communication. Dans ce graphe, chaque nœud ${\displaystyle i\in V}$ représente un sous-système, et chaque arc ${\displaystyle (j,i)\in E}$ représente un canal de communication des sorties ${\displaystyle y_{j}}$ du ${\displaystyle j}$-ème sous-système vers les entrées ${\displaystyle u_{i}}$ du ${\displaystyle i}$-ème sous-système. La loi de commande ${\displaystyle u_{i}}$ du ${\displaystyle i}$-ème sous-système ne peut alors être synthétisée qu'à partir de sa propre sortie ${\displaystyle y_{i}}$, ainsi que des sorties des sous-systèmes ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{-}(i)=\{j_{1},\dots ,j_{p}\}}$ pour lesquels il existe un arc de la forme ${\displaystyle (j,i)\in E}$. Cette synthèse peut, par exemple, s'effectuer par l'intermédiaire d'une fonction ${\displaystyle g_{i}:{\mathcal {Y}}^{p+1}\times \mathbb {T} \mapsto {\mathcal {U}}}$ :

De nouvelles questions propres au caractère collectif des systèmes en réseau s'ajoutent alors aux problématiques habituelles du contrôle, notamment concernant les propriétés d'auto-organisation du réseau : la synchronisation des sous-systèmes, la stabilisation autour de valeurs de consensus, l’évitement de collisions, l'éventuelle mise-à-jour de la topologie du graphe de communication, etc^[30]. On utilise parfois des notions de jeu différentiel pour étudier ce type de système^[30].

Bibliographie

Liens externes

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