Théorie conforme des champs

si ${\displaystyle x\to f(x)}$ est une transformation conforme, alors son jacobien est de la forme : ${\displaystyle \det \left[{\frac {\partial f(x)^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\right]=\Omega (x)}$ où ${\displaystyle \Omega (x)}$ est un facteur d'échelle.

Dans un espace euclidien de dimension d, le groupe conforme est localement isomorphe à SO(d+1,1), pour un espace de Minkowski celui-ci est localement isomorphe à SO(d,2).

Celui-ci va inclure les transformations suivantes :

• Les translations ${\displaystyle T_{a}:x^{\mu }\to x^{\mu }+a^{\mu }}$
• Les rotations (pour un espace euclidien) et les transformations de Lorentz (pour une espace de Minkowski)
• Les dilatations
• L'inversions : ${\displaystyle I:x^{\mu }\to {\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}}$
• Les transformations conformes spéciales : ${\displaystyle S_{a}:x^{\mu }\to I\circ T_{a}\circ I(x^{\mu })}$

Il est possible de définir des générateurs infinitésimaux de ces transformations :

${\displaystyle P}$ génère les translations, ${\displaystyle D}$ génère les dilatations, ${\displaystyle K_{\mu }}$ génère les transformations conformes spéciales, et ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ génère les rotations (ou des transformations de Lorentz). Alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0,\\[][D,K_{\mu }]&=-K_{\mu },\\[][D,P_{\mu }]&=P_{\mu },\\[][K_{\mu },K_{\nu }]&=0,\\[][K_{\mu },P_{\nu }]&=\eta _{\mu \nu }D-iM_{\mu \nu },\end{aligned}}}$

Les axiomes d'usages sont :

- La linéarité des fonctions de corrélations en fonctions des champs, en particulier : ${\displaystyle \partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle =\left\langle \,\left(\partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\,\right)\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle }$

- L’invariance sous permutations, l'ordre des champs n'a pas d'importance dans une fonction de corrélation

- Correspondance état-champ : l'espace des champs est un espace vectoriel indépendant de ${\displaystyle x}$, également appelé espace des états ou spectre.

D'autres axiomes sont généralement ajouté

Une classe de champs intéressante sont les champs primaires scalaires. Pour une transformation conforme ${\displaystyle x\to x'}$, un champ primaire scalaire ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ se transforme comme ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(x')=\Omega (x)^{\Delta }{\mathcal {O}}(x')}$. Où ${\displaystyle \Omega (x)}$ est le facteur d'échelle associé à la transformation conforme et ${\displaystyle \Delta }$ est la dimension conforme de l'opérateur.

La covariance conforme impose que : ${\displaystyle {\Bigg \langle }\prod _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}'_{i}(x'_{i}){\Bigg \rangle }={\Bigg \langle }\prod _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{i}(x_{i}){\Bigg \rangle }}$.

Ceci va alors contraindre les fonctions de corrélations à 2 et 3 champs sous la forme :

${\displaystyle {\Big \langle }{\mathcal {O}}_{1}(x_{1}){\mathcal {O}}_{2}(x_{2}){\Big \rangle }=\delta _{\Delta _{1},\Delta _{2}}|x_{1}-x_{2}|^{-2\Delta _{1}}}$

${\displaystyle {\Big \langle }{\mathcal {O}}_{1}(x_{1}){\mathcal {O}}_{2}(x_{2}){\mathcal {O}}_{3}(x_{3}){\Big \rangle }=C_{123}|x_{1}-x_{2}|^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}|x_{1}-x_{3}|^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}}|x_{2}-x_{3}|^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}}$

où ${\displaystyle C_{123}}$ est un constante indépendantes des positions.

Les dimensions conformes des champs scalaires primaires, ainsi que les constantes ${\displaystyle C_{ijk}}$ sont appelées les données conformes d'une théorie de champ conforme donnée. Ces données déterminent non seulement les fonctions à 2 et 3 points, mais aussi toutes les fonctions de corrélation dans l'espace plat. Cela est dû aux développements en produit d'opérateurs.

Il suffit donc d'étudier les fonctions de corrélations à 2 et 3 points.