Théorème de Lami

En physique, le théorème de Lami est une équation reliant les normes de trois vecteurs coplanaires, concourants et non colinéaires, qui maintient un objet en équilibre statique, les angles étant directement opposés aux vecteurs correspondants. Selon ce théorème,

${\displaystyle {\frac {v_{A}}{\sin \alpha }}={\frac {v_{B}}{\sin \beta }}={\frac {v_{C}}{\sin \gamma }}}$

où ${\displaystyle v_{A},v_{B},v_{C}}$ sont les normes respectives des trois vecteurs coplanaires, concourants et non colinéaires, ${\displaystyle {\vec {v}}_{A},{\vec {v}}_{B},{\vec {v}}_{C}}$, qui maintiennent l'objet en équilibre statique, et ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ sont les angles directement opposés aux vecteurs^[1], satisfaisant ainsi ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =360^{o}}$.

Le théorème de Lami s'applique à l'analyse statique des systèmes mécaniques et structuraux. Il doit son nom à Bernard Lamy^[2].

Comme les vecteurs doivent s'équilibrer, on a ${\displaystyle {\vec {v}}_{A}+{\vec {v}}_{B}+{\vec {v}}_{C}={\vec {0}}}$, donc en faisant en sorte que tous les vecteurs touchent sa pointe et sa queue, le résultat est un triangle avec des côtés de longueurs ${\displaystyle v_{A},v_{B},v_{C}}$ et les angles ${\displaystyle 180^{o}-\alpha ,180^{o}-\beta ,180^{o}-\gamma }$ (${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ sont les angles extérieurs).

Par la loi des sinus, on trouve alors ^[1]

$${\displaystyle {\frac {v_{A}}{\sin(180^{o}-\alpha )}}={\frac {v_{B}}{\sin(180^{o}-\beta )}}={\frac {v_{C}}{\sin(180^{o}-\gamma )}}.}$$

Ensuite, en utilisant les propriétés trigonométriques, on a ${\displaystyle \sin(180^{o}-\theta )=\sin \theta }$ (les angles supplémentaires ont le même sinus), et le résultat est

$${\displaystyle {\frac {v_{A}}{\sin \alpha }}={\frac {v_{B}}{\sin \beta }}={\frac {v_{C}}{\sin \gamma }}.}$$

• Équilibre mécanique
• Parallélogramme de force
• Problème de Fagnano

• (en) R.K. Bansal, A Textbook of Engineering Mechanics, Laxmi Publications, 2005, 4 p. (ISBN 978-81-7008-305-4).
• (en) I.S. Gujral, Engineering Mechanics, Firewall Media, 2008, 10 p. (ISBN 978-81-318-0295-3)

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