Solveur de Roe

Un système non linéaire d'équations aux dérivées partielles hyperboliques représentant un ensemble de lois de conservation en une dimension spatiale peut s'écrire sous la forme :

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {U}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}})}{\partial x}}=0}$

En appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées au second terme on obtient le système hyperbolique quasi-linéaire suivant :

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {U}}}{\partial t}}+A({\boldsymbol {U}}){\frac {\partial {\boldsymbol {U}}}{\partial x}}=0}$

où ${\displaystyle A}$ est la matrice jacobienne du vecteur flux ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}})}$.

La méthode de Roe consiste à trouver une approximation de ${\displaystyle A(\mathbf {U} )}$ notée ${\displaystyle {\tilde {A}}({\boldsymbol {U}}_{i},{\boldsymbol {U}}_{i+1})}$ supposée constante entre deux cellules. Le problème de Riemann peut alors être résolu comme un système hyperbolique linéaire à chaque interface de cellule. Cette matrice doit satisfaire les conditions suivantes :

• elle est diagonalisable avec des valeurs propres réelles : ceci garantit que le nouveau système linéaire est hyperbolique ;
• elle est cohérente avec le jacobien exact : lorsque ${\displaystyle ({\boldsymbol {U}}_{i},{\boldsymbol {U}}_{i+1})\rightarrow {\boldsymbol {U}}}$, on exige que ${\displaystyle {\tilde {A}}({\boldsymbol {U}}_{i},{\boldsymbol {U}}_{i+1})=A({\boldsymbol {U}})}$ ;
• elle est conservative : ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i+1}-{\boldsymbol {F}}_{i}={\tilde {A}}({\boldsymbol {U}}_{i+1}-{\boldsymbol {U}}_{i})}$.

Phil Roe a introduit une méthode de vecteurs paramétriques pour trouver une telle matrice pour certains systèmes de lois de conservation^[1]. Une fois la matrice de Roe correspondant à l'interface entre deux cellules déterminée, le flux intercellules est obtenu en résolvant le système quasi-linéaire comme un système linéaire.