Raideur (mécanique)

En mécanique, la raideur est la résistance à la déformation élastique d'un corps (par exemple d'un ressort).

Plus une pièce est raide, plus il faut lui appliquer un effort important pour obtenir une déflexion donnée^[1].

Dans certains secteurs, son inverse est appelé souplesse ou flexibilité. Pour d'autres, la souplesse est définie par au moins deux données, « l'amplitude » et « la force nécessaire au mouvement ». De ce fait, la souplesse ne peut rigoureusement pas être l'inverse de la raideur. La souplesse est une propriété extensive. On réserve le terme apparenté de rigidité pour indiquer une raideur infinie.

La raideur ${\displaystyle k}$ est définie par le rapport :

Raideur : ${\displaystyle k={F \over x}}$

avec :

• ${\displaystyle F}$ la force appliquée en un point ;
• ${\displaystyle x}$ la déflexion de la structure au point considéré.

Il s'agit d'une application de la loi de Hooke. On peut parler de raideur en traction-compression, en flexion ou en cisaillement. Elles s'expriment en newtons par mètre (N/m) ou ses multiples dans le Système international d'unités.

On définit de façon similaire la raideur angulaire ${\displaystyle k_{\theta }}$ par :

Raideur angulaire : ${\displaystyle k_{\theta }={M \over \theta }}$

avec :

• ${\displaystyle M}$ le moment de force ;
• ${\displaystyle \theta }$ l'angle de rotation induit par le moment de force.

On peut parler de raideur angulaire en torsion ou en flexion. Dans le Système international d'unités, la raideur angulaire s'exprime en newtons mètres par radian (N m rad⁻¹).

On peut exprimer la raideur sous forme matricielle, forces et déplacements étant des vecteurs (respectivement ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ et ${\displaystyle {\textbf {x}}}$) :

${\displaystyle F_{i}=k_{ij}\circ x_{j}}$

Cette notation peut s'élargir aux six degrés de liberté par points : les trois translations et les trois rotations.

En calcul numérique, on utilise une matrice de raideur établissant la relation entre efforts et déplacements en différents points d'une structure ; son inverse est la matrice de souplesse.

La notion équivalente en mécanique des milieux continus est le tenseur des rigidités (exprimé en multiples du Pa) ; son inverse est le tenseur des souplesses (ou des complaisances).

La raideur exprime la notion d'élasticité en termes de mécanique du solide : efforts et déplacements. Le module d'élasticité exprime la même notion d'élasticité mais entre les termes continus de contraintes et de déformations.

Dans les cas géométriquement simples, on peut relier analytiquement ces grandeurs. Par exemple, dans le cas d'une barre de section constante chargée en traction-compression, la raideur s'exprime en fonction du module de Young :

${\displaystyle k={A\cdot E \over L}}$

avec :

• ${\displaystyle A}$ l'aire de la section de la barre ou de la poutre ;
• ${\displaystyle E}$ le module d'élasticité en traction-compression (ou module de Young) ;
• ${\displaystyle L}$ la longueur de la barre ou de la poutre.

L'énergie de déformation ${\displaystyle E}$ accumulée dans un élément de raideur ${\displaystyle k}$ vaut :

${\displaystyle E={1 \over 2}k\cdot x^{2}={1 \over 2}{F^{2} \over k}}$

en notant ${\displaystyle F^{2}}$ le carré du module de ${\displaystyle {\textbf {F}}}$.