Papillon de Hofstadter

Le papillon de Hofstadter est une représentation graphique des niveaux d'énergie autorisés aux électrons d'un réseau cristallin soumis à l'action d'un champ magnétique, pour des valeurs rationnelles d'un certain paramètre. C'est une figure fractale.

En 1974, Douglas Hofstadter, alors étudiant en physique à l'université de l'Oregon, suit son directeur de thèse à Ratisbonne (Bavière, Allemagne), où un groupe de théoriciens étudie les niveaux d'énergie d'un électron dans un réseau cristallin placé près d'un aimant, qui dépendent d'un paramètre α sans dimension proportionnel au flux magnétique. Une méthode numérique étant disponible pour calculer ces niveaux quand α est rationnel, Hofstadter entreprend de faire ce calcul systématiquement en programmant un ordinateur HP 9820A, et reporte les résultats dans un diagramme α-ε où ε est un nombre sans dimension proportionnel à l'énergie de l'électron. Le résultat est une figure fractale dans laquelle apparaît une zone blanche (vide de résultats) ayant la forme d'un papillon^[1]. Ces résultats sont publiés en 1976^[2].

Pour les valeurs irrationnelles de α, Douglas Hofstadter puis Barry Simon et Mark Kak émettent l'hypothèse que les niveaux d'énergie forment un ensemble de Cantor. Cette conjecture, dite « problème des dix martinis » (en raison d'une promesse faite à qui pourrait la prouver), est démontrée en 1982 pour certains types de nombres irrationnels, puis de façon générale en 2005 mais avec certaines hypothèses simplificatrices concernant l'environnement de l'électron^[1],[3].

Le papillon de Hofstadter est retrouvé expérimentalement en 2013^[4]. En 2023, une preuve générale du problème des dix martinis est publiée, applicable dans de nombreux contextes différents^[1],[5].