Modèle multi-échelle

Un modèle multi-échelle est un modèle utilisé pour résoudre des problèmes se manifestant simultanément à plusieurs échelles spatiales et temporelles. Il appartient à une famille de méthodes relevant de la physique mathématique utilisées en mécanique des fluides, physique des matériaux, chimie, météorologie, recherche opérationnelle, traitement d'images, etc.

Historique du problème

Nombre de problèmes descriptibles à une petite échelle peuvent également être décrits à une plus grande échelle. Classiquement on peut citer la mécanique des fluides avec le passage de l'équation de Boltzmann à l'équation de Navier-Stokes par la méthode de Chapman-Enskog. Ce schéma de passage d'une échelle à l'autre (à une équation de type advection-diffusion) se reproduit dans de nombreux domaines décrits par une équation de type boltzmannien : transfert radiatif, neutronique, dépôt de particules dans la matière, conduction thermique (équation de Boltzmann-Peierls), aérosols (équation de Boltzmann-Williams).

On peut également rechercher des propriétés équivalentes (propriétés mécaniques ou thermiques, propriétés de perméation) d'un matériau par prise de moyenne volumique, par la théorie de l’homogénéisation (analyse asymptotique) ou l'analyse stochastique pour la définition d'un volume élémentaire représentatif dans le cas d'un milieu aléatoire.

Dans tous les cas cela revient à introduire un modèle (généralement un système linéaire) décrivant (analytiquement ou numériquement) l'échelle microscopique que l'on inclut dans le modèle macroscopique. De ce fait l'échelle microscopique disparaît.

Parfois le domaine où une description microscopique est nécessaire est d'extension suffisamment faible pour être ignoré et ses effets réduits à des conditions aux limites spécifiques comme dans le cas de la couche de Knudsen.

Toutefois il existe de nombreux cas où les échelles coexistent dans des régions de l'espace ou du temps non connu à l'avance et où les effets sont non-linéaires, par exemple la fissuration dans un matériau inhomogène à petite échelle (matériaux composites, granulaires, multiphasés, biologiques, métamatériaux). Ce type de problème fait intervenir une échelle nanoscopique décrite par la physique atomique, une échelle microscopique décrite par la dynamique moléculaire, une échelle mésoscopique traitant des petites structures du matériau et d'une échelle macroscopique traitant de la pièce mécanique étudiée[1]. Ceci a conduit à l'élaboration de méthodes physiques et numériques dans une perspective technologique (particulièrement au sein du Département de l'Énergie des États-Unis), favorisées par l'émergence du parallélisme des ordinateurs qui permet le calcul simultané des diverses échelles[2]. Le succès de cette approche a conduit à son extension à beaucoup d'autres domaines. Ainsi Martin Karplus, Michael Levitt et Arieh Warshel ont reçu le prix Nobel de chimie pour le développement d'un modèle multi-échelle combinant un modèle macroscopique décrivant assez sommairement une macromolécule et un calcul au niveau atomique pour décrire sa partie active dans l'interaction avec un autre corps[3],[4],[5]. Il faut cependant mentionner que diverses approches existaient déjà comme le couplage d'une équation de type Boltzmann avec un modèle macroscopique en mécanique des fluides[6], en conduction[7] ou en rayonnement[8].

Le succès de cette discipline a entraîné la création de revues spécialisées comme Multiscale Modeling and Simulation: A SIAM Interdisciplinary Journal du SIAM, International Journal for Multiscale Computational Engineering ou International Journal of Theoretical and Applied Multiscale Mechanics de l'IUTAM.

Approche multi-échelles

La résolution des problèmes multi-échelles spatiales relève de la physique mathématique et de l'analyse numérique[9],[10],[11]. Outre les domaines de la mécanique des fluides (et les problèmes analogues en transfert radiatif, neutronique, conduction, dépôt de particules) et de la mécanique on la rencontre pour décrire les macromolécules[12],[13], les plasmas[14], la biologie[15] ou en recherche opérationnelle (problèmes logistiques ou organisationnels). On peut également citer à nouveau la mécanique des fluides, cette fois pour les problèmes d'échelles locales et globales (turbulence[16], météorologie[17]).

En général la description des divers niveaux de description fait appel à des modèles connus et le problème est de trouver des méthodes de couplage des diverses échelles. Ces méthodes sont très diverses en fonction du problème traité : problèmes de même nature ou pas aux diverses échelles, échelles clairement séparées ou non (recouvrement de domaines). Suivant le cas la résolution numérique se fera par l'intermédiaire de conditions aux limites ou par recouvrement ou raffinement local de maillage[18]. Il faut noter que la solution des divers problèmes couplés peut résulter de codes utilisant des langages hétérogènes, ce qui entraine un problème purement informatique.

Lorsque se superpose un problème d'échelles temporelles le couplage se fera non seulement par les conditions aux limites mais aussi par les conditions initiales (découplage temporel). Dans quelques cas de problèmes hétérogènes mais décrits par l'opérateur de Boltzmann (donc mathématiquement homogènes), le couplage s'effectue naturellement. Un exemple est le couplage écoulement fluide - rayonnement[19] ou solide - rayonnement[20].

Voir aussi

  • Décomposition de domaine

Références

  1. ↑ « La simulation multi-échelle », sur École normale supérieure Paris-Saclay
  2. ↑ (en) M. F. Horstemeyer, « Practical Aspects of Computational Chemistry: Methods, Concepts and Applications », dans Multiscale Modeling: A Review, , 87–135 p. (ISBN 978-90-481-2687-3, lire en ligne)
  3. ↑ (en) Michael Levitt, « Birth and Future of Multiscale Modeling for Macromolecular Systems (Nobel Lecture) », Angewandte Chemie International Edition, vol. 53, no 38,‎ , p. 10006–10018 (DOI 10.1002/anie.201403691)
  4. ↑ (en) Martin Karplus, « Development of Multiscale Models for Complex Chemical Systems: From H+H2 to Biomolecules (Nobel Lecture) », Angewandte Chemie International Edition, vol. 53, no 38,‎ , p. 9992–10005 (DOI 10.1002/anie.201403924)
  5. ↑ (en) Arieh Warshel, « Multiscale Modeling of Biological Functions: From Enzymes to Molecular Machines (Nobel Lecture) », Angewandte Chemie International Edition, vol. 53, no 38,‎ , p. 10020–10031 (DOI 10.1002/anie.201403689)
  6. ↑ (en) Patrick Le Tallec et François Mallinger, « Coupling Boltzmann and Navier–Stokes Equations by Half Fluxes », Journal of Computational Physics, vol. 136, no 1,‎ , p. 51-67 (DOI doi.org/10.1006/jcph.1997.5729)
  7. ↑ (en) P. Degond et C. Schmeiser, « Kinetic boundary layers and fluid-kinetic coupling in semiconductors », Transport Theory and Statistical Physics, vol. 28, no 1,‎ , p. 31–55 (DOI 10.1080/00411459908214514)
  8. ↑ (en) A. Klar et d N. Siedow, « Boundary layers and domain decomposition for radiative heat transfer and diffusion equations: applications to glass manufacturing process », European Journal of Applied Mathematics, vol. 9, no 4,‎ , p. 351–372 (DOI 10.1017/S0956792598003490)
  9. ↑ (en) E. Weinan, « Principles of Multiscale Modeling », sur Université Princeton,
  10. ↑ (en) M. O. Steinhauser, Multiscale Modeling of Fluids and Solids - Theory and Applications, (ISBN 978-3540751168)
  11. ↑ G. Duffa et D. Bouche, « Modélisation multiéchelle », CHOCS, no 33,‎
  12. ↑ (en) S. A. Baeurle, « Multiscale modeling of polymer materials using field-theoretic methodologies: A survey about recent developments », Journal of Mathematical Chemistry, vol. 46, no 2,‎ (DOI 10.1007/s10910-008-9467-3)
  13. ↑ (en) Juan J. De Pablo, « Coarse-Grained Simulations of Macromolecules: From DNA to Nanocomposites », Annual Review of Physical Chemistry, vol. 62,‎ , p. 555–74 (DOI 10.1146/annurev-physchem-032210-103458)
  14. ↑ (en) S. Adamson, « Multiscale multiphysics nonempirical approach to calculation of light emission properties of chemically active nonequilibrium plasma: Application to Ar GaI3 system », Journal of Physics D : Applied Physics, vol. 40, no 13,‎ , p. 3857 (DOI 10.1088/0022-3727/40/13/S06)
  15. ↑ (en) Dimitrios I. Fotiadis, Antonis I. Sakellarios et Vassiliki T. Potsika, Multiscale Modelling in Biomedical Engineering, Wiley (ISBN 9781119517344, DOI 10.1002/9781119819028)
  16. ↑ (en) Pierre Sagaut, Sebastien Deck et Marc Terracol, Multiscale And Multiresolution Approaches in Turbulence, LCP, (ISBN 978-1860946509)
  17. ↑ (en) Rupert Klein, Stefan Vater, Eileen Paeschke et Daniel Ruprecht, « Multiple scales methods in meteorology », dans Asymptotic Methods in Fluid Mechanics: Survey and Recent Advances, Springer, (ISBN 978-3-7091-0407-1, DOI 10.1007/978-3-7091-0408-8_5)
  18. ↑ (en) B. Chopard, Joris Borgdorff et A. G. Hoekstra, « A framework for multi-scale modelling », Philosophical Transactions of the Royal Society A, vol. 372,‎ , p. 20130378 (DOI 10.1098/rsta.2013.0378, lire en ligne)
  19. ↑ (en) Édouard Audit, Pierre Charrier, Jean-Pierre Chièze et Bruno Dubroca, « A radiation-hydrodynamics scheme valid from the transport to the diffusion limit », arXiv,‎ (lire en ligne)
  20. ↑ Théo Jeanneau, « Etude et validation d’une approche cinétique couplée pour la modélisation du transfert multimodal et multi-échelle de chaleur en milieu hétérogène », arXiv,‎ (lire en ligne)
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