Méthode sans maillage

En analyse numérique une méthode sans maillage ou méthode particulaire est une méthode de résolution d'équations aux dérivées partielles n'utilisant pas de maillage pour partitionner l'espace de calcul. Cette méthode suppose que le fluide est constitué d’un nombre fini de particules interagissant avec leurs voisines et dont on suit le mouvement individuel.

Dans les problèmes où l'évolution du milieu conduit à de très grandes déformations on est conduit à adopter une approche lagrangienne modifiée (méthodes Arbitrary Lagrange-Euler, ALE) comportant un maillage ou une méthode particulaire sans maillage. Ce dernier type d'approche s'utilise également pour des problèmes où des nœuds peuvent être créés ou détruits, comme dans les simulations de fissuration.

Le principe de ce type de méthode est apparu en mécanique des fluides avec Rosenhead (1931)^[1]. Il est à la base de diverses méthodes numériques^[2].

Ce type de méthode s'est développé avec l'hydrodynamique des particules lissées (Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH) introduite en 1977 appliquée à la mécanique des fluides^[3], plus tard étendue à la mécanique des solides (1993)^[4].

Dans les années 1990, une nouvelle classe de méthodes sans maillage a émergé, basée sur la méthode de Galerkine. Parmi celles-ci la méthode des éléments diffus (en) utilise l’approximation des moindres carrés mobiles (en) dans la résolution de Galerkine^[5],[6],[7]. Parallèlement les méthodes des points matériels (en) ont été développées^[8],[9] qui offrent des capacités similaires et sont largement utilisées dans l'industrie cinématographique pour simuler la mécanique des solides à grandes déformations comme la neige^[10].

D'autres méthodes peuvent être citées^[11],[12] :

• Dynamique des particules dissipatives
• Méthode des éléments naturels
• Méthode des points finis (en)
• Méthode des ensembles de points finis (en)
• Méthode du point matériel (en)
• Méthode particulaire des efforts généralisés (en)
• Méthode semi-implicite particulaire (en)
• Méthode des solutions de base (en)
• Méthode des domaines de tourbillon visqueux (en)
• Méthode particulaire des moindres carrés discrets (en)

Méthodes hybrides :

• Méthode particle-in-cell (PIC)
• Méthode des éléments finis lissés (en)

Prenons l'exemple de l'hydrodynamique des particules lissées (SPH). Les points de données sont traités comme des particules physiques dotées d'une masse et d'une densité, capables de se déplacer au cours du temps et porteuses d'une valeur ${\displaystyle u}$. La méthode SPH définit alors la valeur de ${\displaystyle u(x,t)}$ entre les particules par :

${\displaystyle u(x,t_{n})=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}W(|x-x_{i}|)}$

où ${\displaystyle m_{i}}$ est la masse de la particule ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \rho _{i}}$ est sa densité numérique et ${\displaystyle W}$ est le noyau de collision qui représente l'action des points voisins. En négligeant les gradients macroscopiques on peut écrire la dérivée spatiale comme suit :

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}{\partial W(|x-x_{i}|) \over \partial x}}$

On peut alors utiliser ces définitions de ${\displaystyle u(x,t)}$ et de ses dérivées spatiales pour écrire l'équation simulée sous la forme d'une équation différentielle ordinaire, et la simuler à l'aide d'une méthode numérique. Physiquement, cela revient à calculer les forces entre les particules, puis à intégrer ces forces dans le temps pour déterminer leur mouvement.

La méthode SPH étant explicite les valeurs de ${\displaystyle u(x,t)}$ les particules peuvent être traitées dans n'importe quel ordre.

Un inconvénient de la méthode SPH est qu'elle nécessite la détermination des plus proches voisins d'une particule. La fonction noyau ${\displaystyle W}$ ne renvoyant de résultats non nuls que pour les particules voisines situées à moins de deux fois la « longueur de lissage » (car on choisit généralement des fonctions noyau avec un support compact). C'est pourquoi les simulateurs SPH requièrent généralement du code supplémentaire pour accélérer ce calcul des plus proches voisins.

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