Méthode de décomposition en onde plane

La méthode de décomposition en onde plane (en anglais plane wave expansion method, PWE) est une technique de calcul en électromagnétisme permettant de résoudre les équations de Maxwell en les transformant en un problème aux valeurs propres. La méthode est employée pour des formulations analytiques et permet le calcul des solutions modales des équations de Maxwell dans une géométrie inhomogène ou périodique. Elle a été adaptée spécifiquement pour résoudre des problèmes sous forme d'harmoniques temporelles, dans des milieux non dispersifs. Dans la communauté scientifique qui étudie les cristaux phononiques, cette méthode est utilisée pour déterminer la structure de bande (relation de dispersion) de cristaux de géométries données.

Les ondes planes constituent des solutions de l'équation de Helmholtz homogène et forment une base propre permettant de représenter les champs dans un milieu matériel dont les caractéristiques radioélectriques sont périodiques dans l'espace. La première application de cette méthode aux cristaux photoniques apparaît dans un tutoriel^[1].

Puisque le milieu matériel dans lequel l'onde se propage est périodique, chacun des champs électrique et magnétique est décomposé en une série de termes correspondant aux composantes de séries de Fourier le long des vecteurs du réseau réciproque. Pour des cristaux photoniques représentés par un milieu diélectrique, la permittivité diélectrique est une fonction périodique selon les vecteurs du réseau réciproque. Elle est aussi décomposée en composantes de Fourier.

${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon _{r}}}=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }K_{m}^{\epsilon _{r}}e^{-j{\vec {G}}.{\vec {r}}}}$

${\displaystyle E(\omega ,{\vec {r}})=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }K_{n}^{E_{y}}e^{-j{\vec {G}}\cdot {\vec {r}}}e^{-j{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}}$

où les coefficients de la série de Fourier respectifs sont les nombres K indicés par m et n respectivement, et les vecteurs du réseau réciproque sont donnés par ${\displaystyle {\vec {G}}}$. En pratique, la gamme des composantes considérés est réduite à ${\displaystyle \pm Nmax}$, au lieu d'être considérée comme une onde idéale, infinie.

En utilisant ces décompositions dans l'équation de Helmholtz

${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon ({\vec {r}})}}\nabla \times \nabla \times E({\vec {r}},\omega )=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}E({\vec {r}},\omega )}$

représentant une région sans source, linéaire et non dispersive, on obtient des relations aux valeurs propres qui peuvent être explicitement résolues.

Pour une onde électrique polarisée selon la direction y, se propageant dans la direction z, incidente sur un réseau de Bragg 1D périodique seulement dans la direction z mais homogène dans les directions x et y, avec un paramètre de maille a, nous obtenons les relations simplifiées :

${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon _{r}(z)}}=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }K_{m}^{\epsilon _{r}}e^{-j{\frac {2\pi m}{a}}z}}$

${\displaystyle E(\omega ,{\vec {r}})=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }K_{n}^{E_{y}}e^{-j{\frac {2\pi n}{a}}z}e^{-j{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}}$

L'équation aux valeurs propres à résoudre devient :

${\displaystyle \sum _{n}{\left({\frac {2\pi n}{a}}+k_{z}\right)\left({\frac {2\pi m}{a}}+k_{z}\right)K_{m-n}^{\epsilon _{r}}K_{n}^{E_{y}}}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}K_{m}^{E_{y}}}$

Pour chacune des composantes du vecteur k, cette équation peut être résolue par récurrence en construisant une matrice pour les termes du côté gauche et en déterminant les valeurs et vecteurs propres. Les valeurs propres correspondent aux solutions modales, tandis que les champs électrique et magnétique peuvent être tracés en utilisant les décompositions de Fourier. Les coefficients des harmoniques du champ sont obtenues à l'aide des vecteurs propres spécifiques.

La structure de bande résultante obtenue grâce aux modes propres de cette structure est affichée à droite.

%
% solve the DBR photonic band structure for a simple
% 1D DBR. air-spacing d, periodicity a, i.e, a > d,
% we assume an infinite stack of 1D alternating eps_r|air layers
% y-polarized, z-directed plane wave incident on the stack
% periodic in the z-direction; 
%

%parameters
d=8; %air gap
a=10; %total periodicity
d_over_a = d/a;
eps_r =12.2500; %dielectric constant, like GaAs,

% max F.S coefs for representing E field, and Eps(r), are
Mmax=50;

% Q matrix is non-symmetric in this case, Qij != Qji
% Qmn = (2*pi*n + Kz)^2*Km-n
% Kn = delta_n / eps_r + (1 - 1/eps_r)(d/a)sinc(pi.n.d/a)
% here n runs from -Mmax to + Mmax,

freqs=[];
for Kz=-pi/a:pi/(10*a):+pi/a
Q=zeros(2*Mmax + 1);
for x=1:2*Mmax+1
    for y=1:2*Mmax+1
        X=x-Mmax;
        Y=y-Mmax;
        kn=(1 -1/eps_r)*d_over_a.*sinc((X-Y).*d_over_a) + ((X-Y)==0)*1/eps_r;
        Q(x,y)=(2*pi*Y/a + Kz).^2*kn;
    end
end

fprintf('Kz = %g\n',Kz)
omega_c=eig(Q);
omega_c=sort(sqrt(omega_c));%important step.
freqs=[freqs; omega_c.'];
end

close()
figure()
hold on
idx=1;

for idx=1:length(-pi/a:pi/(10*a):+pi/a)
    plot(-pi/a:pi/(10*a):+pi/a,freqs(:,idx),'.-')
end
    
hold off
xlabel('Kz')
ylabel('omega/c')
title(sprintf('PBG of 1D DBR with d/a=%g, Epsr=%g',d/a,eps_r))

Cette méthode propose des décompositions qui constituent des solutions exactes. Elle est particulièrement adaptée pour résoudre les problèmes liés aux solutions modales. Pour les problèmes de grande taille, des techniques itératives, comme la méthode du gradient conjugué, permettent de les traiter efficacement

Que ce soit pour le problème aux valeurs propres normal ou généralisé, un petit nombre seulement d'indices de bande dans le diagramme est nécessaire, reposant souvent sur les bords de la zone de Brillouin. Ceci correspond aux solutions des modes propres en utilisant des techniques itératives et non à la diagonalisation de toute la matrice.

Lorsque la base propre est incomplète, il arrive que de faux modes apparaissent. D'autre part la complexité des problèmes de grande taille croit rapidement en O(n³), où n est le nombre d'ondes planes utilisées. La méthode est donc assez consommatrice à la fois de temps et d'espace mémoire.

Parmi les alternatives, on trouve la méthode spectrale et les méthodes FDTD, qui sont plus simples et moins dépendantes du modèle.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Plane wave expansion method » (voir la liste des auteurs).