Force pondéromotrice

Dans la physique, une force pondéromotrice est une force non linéaire qu'une particule chargée subit dans un champ électromagnétique oscillant inhomogène.

La force pondéromotrice F_p s'exprime par:

${\displaystyle \mathbf {F} _{p}=-{\frac {e^{2}}{4\,m\,\omega ^{2}}}\nabla \left(\mathbf {E} ^{2}\right)}$

où e est la charge électrique de la particule, m est la masse, ω est la fréquence de l'oscillation du champ, et E est l'amplitude du champ électrique.

Cette équation signifie qu'une particule chargée dans un champ oscillant non homogène oscille, non seulement à la fréquence ω du champ, mais est également accélérée par la force Fp dans la direction du champ le plus faible. Il s'agit d'un cas rare où la direction de la force ne dépend pas de la charge positive ou négative de la particule^[1].

Nous allons tout d'abord nous placer dans le cas unidimensionnel. Considérons une particule soumise à un champ électrique non uniforme oscillant à la fréquence ω selon l'axe x, et supposons que la particule se déplace uniquement selon cet axe. Supposons également que la particule se déplace toujours à des vitesses non relativistes, ce qui nous permet de négliger la force magnétique. L'équation du mouvement est alors donnée par :${\displaystyle {\ddot {x}}={\frac {e}{m}}E_{x}(x)\cos(\omega t).}$

Si l'échelle de longueur ${\displaystyle L}$ de variation de ${\displaystyle E(x)}$ est suffisamment grande, alors la trajectoire de la particule peut être séparée en un mouvement lent et un mouvement rapide : ${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}}$

Où ${\displaystyle x_{0}}$ est le mouvement de dérive lente et ${\displaystyle x_{1}}$ représente les oscillations rapide. Supposons également que ${\displaystyle x_{1}\ll L}$. On peut alors faire un développement de Taylor en ${\displaystyle x_{0}}$, à l'ordre 1 :

${\displaystyle {\ddot {x}}_{0}+{\ddot {x}}_{1}\approx {\frac {e}{m}}\left[E_{x}(x_{0})+x_{1}E_{x}'(x_{0})\right]\cos(\omega t)}$

De plus on a ${\displaystyle {\ddot {x}}_{0}\ll {\ddot {x}}_{1}}$ car ${\displaystyle x_{1}<<x_{0}}$ donc ${\displaystyle x_{1}}$ oscille plus rapidement et a une dérivée seconde plus grande, ainsi ${\displaystyle x_{1}E_{x}'(x_{0})}$ est négligeable. Donc au première ordre :

${\displaystyle {\ddot {x}}_{1}\approx {\frac {e}{m}}E_{x}(x_{0})\cos(\omega t)}$

Sur l'échelle de temps des oscillations de ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{0}}$ est constante. on peut donc intégrer et trouver ${\displaystyle x_{1}}$ :

${\displaystyle x_{1}\approx -{\frac {e}{m}}{\frac {E_{x}(x_{0})}{\omega ^{2}}}\cos(\omega t)}$

En remplacent cette expression dans l'équation du mouvement développé en série de Taylor :

${\displaystyle {\ddot {x}}_{0}\approx -{\frac {e^{2}}{m^{2}}}{\frac {E_{x}(x_{0})E_{x}'(x_{0})}{\omega ^{2}}}cos^{2}({\omega }t)=-{\frac {e^{2}}{2m^{2}\omega ^{2}}}{\frac {d(E_{x}^{2}(x_{0}))}{dx}}cos^{2}({\omega }t)}$

En faisant ensuite la moyenne de t sur la période ${\displaystyle 2\pi /\omega }$, le ${\displaystyle cos^{2}({\omega }t)}$ devient ${\displaystyle 1/2}$ :

${\displaystyle {\ddot {x}}_{0}=-{\frac {e^{2}}{4m^{2}\omega ^{2}}}(E_{x}^{2})'}$

${\displaystyle \Rightarrow F_{p}=m{\ddot {x}}_{0}=-{\frac {e^{2}}{4m\omega ^{2}}}({\hat {E}}_{x}^{2})',}$

Ce qui en généralisant à 3 dimensions :

${\displaystyle \mathbf {F} _{p}=-{\frac {e^{2}}{4\,m\,\omega ^{2}}}\nabla \left(\mathbf {E} ^{2}\right)}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ponderomotive force » (voir la liste des auteurs).

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