Fonction de Bickley-Naylor

La fonction de Bickley-Naylor est une fonction de type exponentielle intégrale utilisée dans les problèmes de transfert radiatif utilisant une transformation de Laplace. Elle a été introduite par William G. Bickley^[1] et V. D. Naylor.

Définition

La fonction de Bickley-Naylor d'ordre n est définie par

\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{\sin \theta }}}\sin ^{n-1}\theta \,\mathrm {d} \theta

Cette fonction est reliée à la fonction G de Meijer (en)^[2] associée à la transformation de Mellin.

Définitions alternatives

Les formes suivantes donnent la même fonction :

\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{\cos \theta }}}\cos ^{n-1}\theta \,\mathrm {d} \theta

\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-x\cosh t}}{\cosh ^{n-1}t}}\,\mathrm {d} t

\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-xt}}{t^{n}{\sqrt {t^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} t

\mathrm {Ki} _{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{x}^{+\infty }(x-t)^{n-1}K_{0}(t)\,\mathrm {d} t

\mathrm {Ki} _{n}(x)={\frac {x^{n}}{(n-1)!}}\int _{1}^{+\infty }(x-1)^{n-1}K_{0}(xt)\,\mathrm {d} t

Dans les deux dernières définitions, $K 0 (t)$ désigne la fonction de Bessel modifiée d'ordre 0. On en déduit que $Ki 0 = K 0$ .

Développement en série

On connait le développement en série entière des deux premières fonctions de Bickley-Naylor :

\operatorname {Ki} _{1}(x)={\frac {\pi }{2}}+x\left(\gamma +\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}}{(k!)^{2}(2k+1)}}-x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}}{(k!)^{2}(2k+1)^{2}}}-x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}H_{k}}{(k!)^{2}(2k+1)}}

\operatorname {Ki} _{2}(x)=1-{\frac {\pi }{2}}x-{\frac {x^{2}}{2}}\left(\gamma +\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}}{k!(k+1)!(2k+1)}}+{\frac {x^{2}}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+3)(x^{2}/4)^{k}}{k!(k+1)!(2k+1)^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}H_{k}}{k!(k+1)!(2k+1)}}

avec $γ$ est la constante d'Euler-Mascheroni et $H k$ est le k^e nombre harmonique.

Relations de récurrence

Récurrence

Les fonctions de Bickley-Naylor vérifient la relation de récurrence^[3]:

n\operatorname {Ki} _{n+1}(x)=(n-1)\operatorname {Ki} _{n-1}(x)-x\operatorname {Ki} _{n}(x)+x\operatorname {Ki} _{n-2}(x),~~~~~n\geq 2

avec $\operatorname {Ki} _{0}(x)=\operatorname {K} _{0}(x)$ .

Différentiation

Par dérivation, on trouve que, pour tout n :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {Ki} _{n+1}(x)=-\operatorname {Ki} _{n}(x)

dont on déduit

\forall n\in \mathbb {N} ,\ {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\operatorname {Ki} _{n}(x)=(-1)^{n}\operatorname {K} _{0}(x)

Développement asymptotique

Les fonctions de Bickley-Naylor ont pour développement asymptotique^[4]

\operatorname {Ki} _{n}(x)\approx {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}\mathrm {e} ^{-x}\left\{1-{\frac {(1+4n)}{8x}}+{\frac {3(3+24n+16n^{2})}{2!(8x)^{2}}}\right\}

Applications

Les fonctions de Bickely-Naylor apparaissent dans l'expression du potentiel de Uehling (en)^[5] ou de potentiels gravitationnels^[6].

Voir aussi

Intégrale de Sievert

Références

↑ (en) G. S. Marliss et W. A. Murray, « William G. Bickley—An appreciation », The Computer Journal, vol. 12, n^o 4,‎ janvier 1969, p. 301–302 (DOI 10.1093/comjnl/12.4.301, lire en ligne)
↑ (en) W. Magnus, F. Oberhettinger et F. G. Tricomi, Higher Transcendental Functions, McGraw Hill, 1953 (lire en ligne)
↑ M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, pp. 483, Dover Publications Inc., (1972).
↑ (en) M. S. Milgram, « Analytic method for the numerical solution of the integral transport equation for a homogeneous cylinder », Nucl. Sci. Eng., n^o 68,‎ 1978, p. 249-269.
↑ (en) E. Çopuroğlu et T. Mehmetoğlu, « Analytical evaluation of the Uehling potential using binomial expansion theorems », Bulletin of the Karaganda University, Physics Series, vol. 95, n^o 3,‎ 2019, p. 17-21 (DOI 10.31489/2019ph3/17-21).
↑ (en) Philip Tee et Nosratollah Jafari, « Fundamental length scale and the bending of light in a gravitational field », The European Physical Journal C, vol. 82, n^o 571,‎ 2022, p. 17-21 (DOI 10.1140/epjc/s10052-022-10516-5).

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[1] (en) G. S. Marliss et W. A. Murray, « William G. Bickley—An appreciation », The Computer Journal, vol. 12, n^o 4,‎ janvier 1969, p. 301–302 (DOI 10.1093/comjnl/12.4.301, lire en ligne)

[2] (en) W. Magnus, F. Oberhettinger et F. G. Tricomi, Higher Transcendental Functions, McGraw Hill, 1953 (lire en ligne)

[3] M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, pp. 483, Dover Publications Inc., (1972).

[4] (en) M. S. Milgram, « Analytic method for the numerical solution of the integral transport equation for a homogeneous cylinder », Nucl. Sci. Eng., n^o 68,‎ 1978, p. 249-269.

[5] (en) E. Çopuroğlu et T. Mehmetoğlu, « Analytical evaluation of the Uehling potential using binomial expansion theorems », Bulletin of the Karaganda University, Physics Series, vol. 95, n^o 3,‎ 2019, p. 17-21 (DOI 10.31489/2019ph3/17-21).

[6] (en) Philip Tee et Nosratollah Jafari, « Fundamental length scale and the bending of light in a gravitational field », The European Physical Journal C, vol. 82, n^o 571,‎ 2022, p. 17-21 (DOI 10.1140/epjc/s10052-022-10516-5).

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