Détente de Joule-Gay-Lussac

Le gaz étudié est initialement contenu à la pression ${\displaystyle P_{1}}$ dans une enceinte ${\displaystyle {\rm {A}}}$ de volume ${\displaystyle V_{\rm {A}}}$. Cette enceinte est connectée à une enceinte ${\displaystyle {\rm {B}}}$ de volume ${\displaystyle V_{\rm {B}}}$ initialement vide. Les parois des deux enceintes sont indéformables. Lorsque le robinet séparant les deux enceintes est ouvert, le gaz pénètre dans l'enceinte ${\displaystyle {\rm {B}}}$ jusqu'à ce que les pressions des deux enceintes s'équilibrent à la pression ${\displaystyle P_{2}}$. L'opération est menée rapidement. Le gaz occupe initialement le volume de l'enceinte ${\displaystyle {\rm {A}}}$, ${\displaystyle V_{1}=V_{\rm {A}}}$, et finalement le volume de l'ensemble des deux enceintes ${\displaystyle {\rm {A}}}$ et ${\displaystyle {\rm {B}}}$, ${\displaystyle V_{2}=V_{\rm {A}}+V_{\rm {B}}}$^[2],[3].

Le montage est calorifugé, il n'y a aucun échange de chaleur avec l'extérieur. De plus, les parois des enceintes étant indéformables et le robinet étant un organe de détente statique, il n'y a pas de récupération de travail par l'extérieur du montage, ce qui serait le cas dans une détente faite au moyen d'un organe dynamique comme une turbine^[2],[3].

Le système global constitué par les deux enceintes ${\displaystyle {\rm {A}}}$ et ${\displaystyle {\rm {B}}}$ est un système isolé, puisqu'il n'échange ni matière, ni travail, ni chaleur avec l'extérieur. Le premier principe de la thermodynamique implique que l'énergie interne ${\displaystyle U_{\rm {A+B}}}$ du système global est invariante :

${\displaystyle \Delta U_{\rm {A+B}}=0}$

Or l'énergie ${\displaystyle U_{\rm {A+B}}}$ du système global est constituée uniquement de l'énergie du gaz ${\displaystyle U_{\text{gaz}}}$, puisque le vide thermodynamique n'en possède pas. Ainsi la variation d'énergie du système global est-elle égale à celle du gaz^[3] :

${\displaystyle \Delta U_{\rm {A+B}}=\Delta U_{\text{gaz}}=0}$

Le processus est donc isoénergétique. Le même résultat se démontre en se plaçant du point de vue du gaz seul. Celui-ci constitue un système fermé, qui ne reçoit aucune matière de l'extérieur du montage ni du vide de l'enceinte ${\displaystyle {\rm {B}}}$. Le premier principe de la thermodynamique énonce que l'énergie interne ${\displaystyle U_{\text{gaz}}}$ du gaz en tant que système fermé varie au cours d'une transformation selon :

${\displaystyle \Delta U_{\text{gaz}}=W+Q=0}$

Le gaz n'échange aucune chaleur avec l'extérieur du montage, ni avec le vide de l'enceinte ${\displaystyle {\rm {B}}}$, soit ${\displaystyle Q=0}$. Le gaz ne reçoit aucun travail de l'extérieur du montage ; il échange avec le vide de l'enceinte ${\displaystyle {\rm {B}}}$, en supposant une pression ${\displaystyle P_{\rm {v}}}$ du vide, le travail :

${\displaystyle W=-\int _{1}^{2}P_{\rm {v}}\,\mathrm {d} V}$

Or la pression du vide thermodynamique est nulle, ${\displaystyle P_{\rm {v}}=0}$ d'où ${\displaystyle W=0}$. On a par conséquent pour la détente de Joule–Gay-Lussac, comme déjà obtenu plus haut :

${\displaystyle \Delta U_{\text{gaz}}=U_{2}-U_{1}=0}$

avec ${\displaystyle U_{1}}$ et ${\displaystyle U_{2}}$ les énergies internes respectives du gaz dans son état initial et dans son état final.

La détente de Joule–Gay-Lussac est donc un processus isoénergétique (elle s'effectue à énergie interne constante)^[2],[3],[4] :

Détente de Joule–Gay-Lussac : ${\displaystyle U_{2}=U_{1}}$, processus isoénergétique (ou isénerge).

Le deuxième principe de la thermodynamique introduit l'entropie ${\displaystyle S}$ définie par l'inégalité de Clausius^[5] :

${\displaystyle \mathrm {d} S\geq {\delta Q \over T}}$

avec ${\displaystyle T}$ la température absolue. La transformation est^[5],[6] :

• irréversible si ${\displaystyle \mathrm {d} S>{\delta Q \over T}}$ ;
• réversible si ${\displaystyle \mathrm {d} S={\delta Q \over T}}$.

La détente de Joule–Gay-Lussac étant adiabatique, soit ${\displaystyle \delta Q=0}$, on a :

${\displaystyle \mathrm {d} S\geq 0}$

De façon générale, la variation élémentaire d'énergie interne s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {d} U=-P\,\mathrm {d} V+T\,\mathrm {d} S}$

La détente de Joule–Gay-Lussac étant isoénergétique, soit ${\displaystyle \mathrm {d} U=0}$, la variation élémentaire d'entropie vaut :

${\displaystyle \mathrm {d} S={P \over T}\,\mathrm {d} V}$

La température ${\displaystyle T}$ et la pression ${\displaystyle P}$ étant des grandeurs positives, puisque ${\displaystyle \mathrm {d} S\geq 0}$ on ne peut avoir que ${\displaystyle \mathrm {d} V\geq 0}$. Dans une détente de Joule–Gay-Lussac, la variation de volume est strictement positive, soit ${\displaystyle \mathrm {d} V>0}$ ; par conséquent :

${\displaystyle \mathrm {d} S>0}$

La détente de Joule–Gay-Lussac est un processus irréversible :

Détente de Joule–Gay-Lussac : ${\displaystyle \mathrm {d} S={P \over T}\,\mathrm {d} V>{\delta Q \over T}=0}$, processus adiabatique irréversible.

La variation élémentaire d'énergie interne s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {d} U=-P\,\mathrm {d} V+T\,\mathrm {d} S}$

La variation élémentaire d'entropie s'exprime en fonction des coefficients calorimétriques selon :

${\displaystyle T\,\mathrm {d} S=C_{V}\,\mathrm {d} T+l\,\mathrm {d} V}$

La combinaison des deux différentielles donne :

${\displaystyle \mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T+\left(l-P\right)\,\mathrm {d} V}$

La première relation de Clapeyron donne :

${\displaystyle {l \over T}=P\beta }$

${\displaystyle \left({\partial U \over \partial V}\right)_{T}=l-P=\left(\beta T-1\right)P}$

On a par conséquent :

${\displaystyle \mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T+\left(\beta T-1\right)P\,\mathrm {d} V}$

${\displaystyle \mathrm {d} T={1 \over C_{V}}\,\mathrm {d} U-{\left(\beta T-1\right)P \over C_{V}}\,\mathrm {d} V}$

On définit le coefficient de Joule–Gay-Lussac^[3] :

Coefficient de Joule–Gay-Lussac : ${\displaystyle \mu _{\rm {JGL}}=\left({\partial T \over \partial V}\right)_{U}=-{\left(\beta T-1\right)P \over C_{V}}}$

Ce coefficient s'exprime en kelvins par mètre cube (K m⁻³) dans le Système international d'unités. Dans un processus isoénergétique où le volume augmente (dans une détente), la température du gaz varie : lorsque ${\displaystyle \mu _{\rm {JGL}}<0}$ elle diminue ; lorsque ${\displaystyle \mu _{\rm {JGL}}>0}$ elle augmente.

Pour l'énergie interne on nomme pression interne le coefficient ${\displaystyle \pi _{T}}$ tel que^[7] :

Pression interne : ${\displaystyle \pi _{T}=\left({\partial U \over \partial V}\right)_{T}=-C_{V}\,\mu _{\rm {JGL}}}$

Ce coefficient s'exprime en pascals (Pa) dans le Système international d'unités. On a donc, de façon générale^[7] :

Variation élémentaire de l'énergie interne : ${\displaystyle \mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T-C_{V}\,\mu _{\rm {JGL}}\,\mathrm {d} V=C_{V}\,\mathrm {d} T+\pi _{T}\,\mathrm {d} V}$

La loi des gaz parfaits :

${\displaystyle PV=nRT}$

donne le coefficient de compression isochore :

${\displaystyle \beta ={1 \over P}\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V}={1 \over P}{nR \over V}={1 \over T}}$

En conséquence, la température d'un gaz parfait ne varie pas dans une détente de Joule–Gay-Lussac et, de façon générale, dans toute transformation isoénergétique^[2],[7],[3] :

Pour un gaz parfait : ${\displaystyle \mu _{\rm {JGL}}=0}$

On a également :

${\displaystyle \left({\partial U \over \partial V}\right)_{T}=-C_{V}\,\mu _{\rm {JGL}}=0}$

De façon générale, l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend pas du volume, elle ne dépend que de la température ; un gaz parfait répond donc à la première loi de Joule (ou loi de Joule–Gay-Lussac)^[2],[8],[3] :

Pour un gaz parfait : ${\displaystyle \mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T}$ (première loi de Joule ou loi de Joule–Gay-Lussac).

Dans une détente de Joule–Gay-Lussac, la variation d'entropie d'un gaz parfait vaut :

${\displaystyle \int _{S_{1}}^{S_{2}}\mathrm {d} S=S_{2}-S_{1}=\int _{V_{1}}^{V_{2}}{P \over T}\,\mathrm {d} V=\int _{V_{1}}^{V_{2}}{nR \over V}\,\mathrm {d} V=nR\,\ln \!\left({V_{2} \over V_{1}}\right)}$

avec ${\displaystyle S_{1}}$ et ${\displaystyle S_{2}}$ les entropies respectives du gaz dans son état initial et dans son état final. Puisque ${\displaystyle V_{2}>V_{1}}$, on vérifie que :

Détente de Joule–Gay-Lussac pour un gaz parfait : ${\displaystyle S_{2}-S_{1}=nR\,\ln \!\left({V_{2} \over V_{1}}\right)>0}$

Les courbes isoénergétiques (ou isénerges) d'une quantité donnée d'un gaz peuvent être représentées dans un diagramme thermodynamique dans lequel le volume est porté en abscisse et la température en ordonnée (diagramme de Watt). Dans ce diagramme, le coefficient ${\displaystyle \mu _{\rm {JGL}}}$ est la pente des courbes. Les courbes d'un gaz parfait sont des droites horizontales : la température d'un gaz parfait ne varie pas lors d'une détente de Joule–Gay-Lussac. Au contraire, les courbes d'un gaz réel sont incurvées : la température d'un gaz réel varie lors d'une détente de Joule–Gay-Lussac^[2],[7],[3].

Détente de Joule–Gay-Lussac.

Si ${\displaystyle \mu _{\text{JGL}}}$ est	puisque ${\displaystyle \partial V}$ est	alors ${\displaystyle \partial T}$ doit être	donc le gaz
négatif	toujours positif	négatif	se refroidit
positif		positif	se réchauffe

Aux hautes et basses températures, on a ${\displaystyle \mu _{\rm {JGL}}>0}$ quel que soit le volume^[3]. Aux très hautes températures et très grands volumes, les courbes isoénergétiques d'un gaz réel sont quasiment horizontales dans le diagramme volume-pression : dans ces conditions, un gaz réel tend à se comporter comme un gaz parfait^[3].

Aux températures intermédiaires, on a ${\displaystyle \mu _{\rm {JGL}}<0}$ aux faibles volumes, ${\displaystyle \mu _{\rm {JGL}}>0}$ aux grands volumes. Le lieu des points auxquels le coefficient de Joule–Gay-Lussac s'annule et change de signe (on a alors ${\displaystyle \beta =1/T}$ comme pour les gaz parfaits) est appelé courbe d'inversion de Joule–Gay-Lussac. À volume nul, la courbe d'inversion est limitée par la température maximale d'inversion de Joule–Gay-Lussac et la température minimale d'inversion de Joule–Gay-Lussac. La courbe d'inversion présente également un volume maximal d'inversion de Joule–Gay-Lussac au-delà duquel on a ${\displaystyle \mu _{\text{JGL}}>0}$ à toute température^[3].

Dans les conditions de pression et température ambiantes, la plupart des gaz tendent à se refroidir lors d'une détente de Joule–Gay-Lussac ; l'hydrogène et l'hélium, eux, se réchauffent dans cette détente^[9].

Au niveau microscopique, l'énergie totale du système thermodynamique étudié est la somme de l'énergie cinétique des molécules, proportionnelle au carré de leur vitesse quadratique moyenne, et de l'énergie potentielle, due aux forces intermoléculaires. En l'absence de travail et de chaleur transférés depuis l'extérieur vers le système, l'énergie totale du système se conserve : ainsi, si l'énergie cinétique ou potentielle augmente, l'autre diminue^[2],[3],[7].

D'une part, la théorie cinétique des gaz et le théorème d'équipartition de l'énergie combinés impliquent que l'énergie cinétique moyenne des molécules d'un gaz est proportionnelle à la température. En conséquence, une diminution de l'énergie cinétique des molécules d'un gaz induit une diminution de la température^[2],[3],[7].

D'autre part, les molécules d'un gaz réel interagissent par des forces intermoléculaires, notamment les forces de van der Waals. Si ces forces sont attractives, elles s'opposent à toute augmentation de la distance entre les molécules ; dans ce cas, une augmentation de la distance entre molécules induit une augmentation de l'énergie potentielle des molécules. Au contraire, des forces répulsives favorisent l'augmentation de la distance entre molécules ; dans ce cas, une augmentation de la distance entre molécules induit une diminution de l'énergie potentielle^[2],[3],[7].

Lorsqu'un gaz est détendu, son volume augmente et ses molécules tendent à l'occuper entièrement, ce qui augmente la distance moyenne les séparant. Ainsi, lors d'une détente, si les forces intermoléculaires sont attractives, l'énergie potentielle augmente et l'énergie cinétique décroît ; en conséquence la température diminue : on a ${\displaystyle \mu _{\text{JGL}}<0}$. Au contraire, si les forces intermoléculaires sont répulsives, l'énergie potentielle diminue et l'énergie cinétique augmente ; en conséquence la température augmente : on a ${\displaystyle \mu _{\text{JGL}}>0}$^[2],[3],[7].

En l'absence de forces intermoléculaires, la détente d'un gaz parfait ne modifie pas l'énergie potentielle des molécules. En conséquence, l'énergie cinétique et la température ne sont pas modifiées : on a ${\displaystyle \mu _{\text{JGL}}=0}$ à toute température et pression. Ceci ne s'observe pour les gaz réels que sur la courbe d'inversion où les forces attractives et répulsives se compensent exactement^[2],[3],[7]. Aux très hautes températures et très grands volumes, l'énergie potentielle devient négligeable devant l'énergie cinétique : les gaz réels tendent à se comporter comme des gaz parfaits.

Articles

• Jacques-Olivier Goussard et Bernard Roulet, « Free expansion for real gases », American Journal of Physics, vol. 61, n^o 9,‎ 1993, p. 845–848 (DOI 10.1119/1.17417, Bibcode 1993AmJPh..61..845G).

Ouvrages

• Peter William Atkins, Julio De Paula et James Keeler (trad. Jean Toullec), Chimie Physique [« Physical Chemistry »], De Boeck Supérieur, 2021, 5^e éd., 916 p. (ISBN 978-2-8073-0637-0, lire en ligne).
• Lucien Borel et Daniel Favrat, Thermodynamique et énergétique : De l'énergie à l'exergie, vol. 1, EPFL Press, 2005, 814 p. (ISBN 9782880745455, lire en ligne).
• Jules Fillette, Julien Froustey et Hugo Roussille, Physique pour l'agrégation : Mécanique classique et relativiste, Physique quantique et nucléaire, Thermodynamique, Physique statistique, De Boeck Supérieur, 2023, 512 p. (ISBN 9782807343726, lire en ligne).
• (en) David C Johnston, Advances in Thermodynamics of the van der Waals Fluid, Morgan & Claypool Publishers, coll. « IOP Concise Physics developed with Morgan & Claypool Publishers (M&C) », 2014, 118 p. (ISBN 9781627055321, DOI 10.1088/978-1-627-05532-1ch11, lire en ligne).
• Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve/impr. aux Pays-Bas, De Boeck supérieur, 2018, 976 p. (ISBN 978-2-8073-0744-5, lire en ligne).