Constante de temps

En physique, une constante de temps est une grandeur homogène à un temps caractérisant la rapidité de l'évolution d'un système dans le temps^[1], particulièrement lorsque cette évolution est exponentielle.

La constante de temps est liée à l'étude de la réponse impulsionnelle d'un système. La durée nécessaire au retour à l'équilibre après la disparition d'une perturbation est appelée temps de relaxation^[1].

Un système est soumis en entrée à un échelon tel que, en fonction du temps ${\displaystyle t}$ :

${\displaystyle \forall t\quad E(t)=\left\{{\begin{matrix}E_{1}&{\text{si}}&t<0\\E_{2}&{\text{si}}&t\geq 0\end{matrix}}\right.}$

Si le système répond en sortie par un signal de la forme :

${\displaystyle \forall t\quad S(t)=\left\{{\begin{matrix}A&{\text{si}}&t<0\\A+B\cdot \left(1-\mathrm {e} ^{-t \over \tau }\right)=C+D\cdot \mathrm {e} ^{-t \over \tau }&{\text{si}}&t\geq 0\end{matrix}}\right.}$

alors ${\displaystyle \tau }$ est la constante de temps, grandeur homogène à un temps^[2].

On a :

• ${\displaystyle A}$ la valeur du signal de sortie du système pour ${\displaystyle t<0}$ ;
• ${\displaystyle B}$ l'amplitude du signal de sortie ; avec ${\displaystyle D=-B}$ ;
• ${\displaystyle C}$ la valeur du signal de sortie du système pour ${\displaystyle t=+\infty }$ ; avec ${\displaystyle C=A+B}$.

La valeur ${\displaystyle C}$ est asymptotique, elle n'est atteinte qu'au bout d'un temps infini.

Un système réagit à une excitation en échelon comme représenté sur le graphe suivant (avec ${\displaystyle A=0}$ et ${\displaystyle B=100}$). La courbe bleue est l'évolution du signal de sortie du système, la droite rouge est la tangente à ce signal en ${\displaystyle t=0}$.

Au bout du temps ${\displaystyle \tau }$, le signal de sortie a atteint ${\displaystyle 1-1/\mathrm {e} }$, soit environ 63 %, de l'amplitude ${\displaystyle B}$ depuis ${\displaystyle A}$, il reste alors ${\displaystyle 1/\mathrm {e} }$, soit environ 37 %, de ${\displaystyle B}$ à parcourir jusqu'à ${\displaystyle C}$. La constante de temps ${\displaystyle \tau }$ peut être déterminée graphiquement de deux façons :

• c'est l'abscisse du point d'ordonnée ${\displaystyle A+0{,}63\times B=C-0{,}37\times B}$ ;
• c'est l'abscisse du point d'intersection entre la tangente au point d'origine du repère ${\displaystyle (t=0\,;\,A)}$ et la droite d'équation ${\displaystyle y=C}$.

Dans l'industrie, on utilise souvent le temps de réponse à 95 % qui correspond à une durée de ${\displaystyle 3\tau }$. La sortie atteint 99,3 % de sa valeur en régime permanent après ${\displaystyle 5\tau }$.

La fréquence de coupure est égale à ${\displaystyle {1 \over 2\pi \tau }}$.

La demi-vie ${\displaystyle t_{50}}$ est l'abscisse du point auquel le signal a atteint 50 % de son amplitude, soit le point d'ordonnée ${\displaystyle A+0{,}5\times B=C-0{,}5\times B}$.

Pour un signal d'entrée ${\displaystyle e(t)}$ fixé, les réponses en tension et en courant d'un circuit électrique sont caractérisées par la constante de temps^[1] :

• ${\displaystyle \tau =RC}$ dans un circuit RC ;
• ${\displaystyle \tau ={L \over R}}$ dans un circuit RL ;
• ${\displaystyle \tau ={\sqrt {LC}}}$ dans un circuit LC ;

avec ${\displaystyle R}$ la résistance, ${\displaystyle C}$ la capacité et ${\displaystyle L}$ l'inductance.

Dans un circuit RC, la constante de temps représente le temps nécessaire pour que le condensateur se charge à 63 % de sa tension maximale à travers la résistance ou se décharge à 37 % de sa tension initiale.

• 
  Courbe de charge d'un condensateur.
• 
  Courbe de décharge d'un condensateur.

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• Réponse indicielle
• Régime transitoire (physique)
• Demi-vie
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